Ensino Médio

Numa P.A de termo geral [tex3]a_{n}[/tex3] , [tex3]1\leq n\leq 37[/tex3] , a diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par é [tex3]24[/tex3] . Logo,

a) a soma dos seus 37 termos é 1776
b) [tex3]a_{4}+a_{33}=24[/tex3]
c) [tex3]a_{9}+a_{29} = 48[/tex3]
d) [tex3]a_{19} = 48[/tex3]
e) [tex3]a_{1}+a_{37} = 24[/tex3]

[tex3]a_1=a_1+0q[/tex3]
[tex3]a_2=a_1+1q[/tex3]
[tex3]a_3=a_1+2q[/tex3]
[tex3]a_4=a_1+3q[/tex3]
...
[tex3]a_{36}=a_1+35q[/tex3]
[tex3]a_{37}=a_1+36q[/tex3]

Soma dos termos de ordem ímpar:

[tex3]\small{a_1+a_3+a_5+...+a_{35}+a_{37}=(a_1+0q)+(a_1+2q)+(a_1+4q)+...+(a_1+34q)+(a_1+36q)=}[/tex3]

[tex3]\small{=19a_1+q(0+2+4+...+34+36)}[/tex3]

Soma dos termos da [tex3]PA\ (0,2,4,...34,36)=\frac{19(0+36)}{2}=342[/tex3]

Logo,

[tex3]\small{19a_1+q(0+2+4+...+34+36)=19a_1+342q}[/tex3]

Soma dos termos de ordem par:

[tex3]\small{a_2+a_4+a_6+...+a_{34}+a_{36}=(a_1+1q)+(a_1+3q)+(a_1+5q)+...+(a_1+33q)+(a_1+35q)}=[/tex3]

[tex3]\small{=18a_1+q(1+3+5+...+33+35)}[/tex3]

Soma dos termos da [tex3]PA\ (1,3,5,...33,35)=\frac{18(1+35)}{2}=324[/tex3]

Logo,

[tex3]18a_1+q(1+3+5+...+33+35)=18a_1+324q[/tex3]

...a diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par é 24.

[tex3](19a_1+342q)-(18a_1+324q)=a_1+18q=24[/tex3]

[tex3]a_9+a_{29}=(a_1+8q)+(a_1+28q)=2a_1+36q=2(a_1+18q)=2\cdot24=48[/tex3]

OBS: repare que temos uma PA com um número ímpar de elementos e, nesse casos, a soma de quaisquer par de termos que distam igualmente do termo central é igual ao dobro deste, ou seja, [tex3](a_1+a_{37})=(a_2+a_{36})=(a_3+a_{35})+...=2\cdot a_{19}[/tex3]

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