Ensino Médio ⇒ [Duvida] diagonais que passam pelo centro

[saviobranco]

Boa tarde galera .
Gostaria que alguém explica de forma convincente porque um poligono de lados ímpar não tem nenhuma diagonal passando pelo centro.

Se a demonstração formal for muito complica pode explicar por uma indução vulgar , ou qualquer outro artifício mesmo.

Não consigo nem mesmo ter uma imagem na minha cabeça do porque que o fato deveria sempre acontecer.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Se uma diagonal passar pelo centro ela será diâmetro da circunferência circunscrita ao polígono regular (estou assumindo ele ser regular porque nem todo polígono tem centro) então ela será um eixo de simetria do polígono. Teremos

Código: Selecionar tudo

[tex3]x[/tex3]

vértices em um semiplano dela e

Código: Selecionar tudo

[tex3]x[/tex3]

vértices no outro semiplano dela totalizando

Código: Selecionar tudo

[tex3]2x+2[/tex3]

vértices ao todo, logo ele terá

Código: Selecionar tudo

[tex3]2x+2[/tex3]

lados que é par. Acho que é isso.

PS: se ele não for regular essa afirmação é falsa.
Posso pegar uma circunferência, marcar dois pontos diametralmente opostos, colocar mais três pontos quaisquer todos distintos entre si e construir um pentágono não regular, mas que tem uma diagonal passando pelo centro.