Ensino Médio ⇒ Princípio fundamental da contagem

[kiritoITA]

Em um corredor há 1000 armários, numerados de 1 a 1000,inicialmente todos fechados.1000 pessoas,numeradas de 1 a 1000,atravessam o corredor.A pessoa cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, a pessoa de número 4 se mexe nos armários de números 4,8,12,...,abrindo os que se encontram fechados e fechando os que se encontram abertos.Ao final,quais armários ficarão abertos?

Resposta

---

Apenas os quadrados perfeitos.Logo ,apenas 31 ficarão abertos

[ttbr96]

Em vez de ser 1000 armários e estudantes, suponhamos que sejam apenas 20.
Para que o armário esteja aberto o número de divisores tem que ser ímpar, ou seja, abre - fecha - abre.

armário 1 = d(1) = 1 divisor(aberto)
armário 2 = d(2) = 2 divisores (fechado)
armário 3 = d(3) = 2 divisores (fechado)
armário 4 = d(4) = 3 divisores (aberto)
armário 5 = d(5) = 2 divisores (fechado)
armário 6 = d(6) = 4 divisores (fechado)
armário 7 = d(7) = 2 divisores (fechado)
armário 8 = d(8) = 4 divisores (fechado)
armário 9 = d(9) = 3 divisores (aberto)
armário 10 = d(10) = 4 divisores (fechado)
.
.
.
armário 16 = d(16) = 5 divisores (aberto)
.
.
.
armário 20 = d(20) = 6 divisores (fechado)

resumindo:
com divisores pares: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, ... 20
com divisores ímpares: 1, 4, 9, 16

note que para os armários que estão abertos são todos quadrados perfeitos (padrão)

temos de

Código: Selecionar tudo

[tex3]\sqrt{1000} \approx 31,6[/tex3]

.
com isso, o último quadrado perfeito é o armário:

Código: Selecionar tudo

[tex3]31^2 = 961[/tex3]

logo, podemos concluir que 31 armários estarão abertos quanto o estudante de número 1000 passar pelo corredor.

[kiritoITA]

A duvida é pq so os quadrados perfeitos?

[ttbr96]

quando o número de divisores é ímpar forma um padrão (quadrados perfeitos)

vejamos o comportamento de alguns armários:

armário 1: o aluno 1 abre e ninguém mais mexe nela.

armário 2:
d(2) = 1 e 2
com isso: o 1 abre e o 2 fecha

armário 4:
d(4) = 1, 2 e 4
com isso: o 1 abre, o 2 fecha e o 4 abre

armário 10:
d(10) = 1, 2, 5 e 10
com isso: o 1 abre, o 2 fecha, o 5 abre e o 10 fecha

armário 20:
d(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20
com isso: 1 abre, 2 fecha, 4 abre, 5 fecha, 10 abre e o 20 fecha

armário 50:
d(50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50
com isso: 1 abre, 2 fecha, 5 abre, 10 fecha, 25 abre, 50 fecha

armário 100:
d(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100
com isso: 1 abre, 2 fecha, 4 abre, 5 fecha, 10 abre, 20 fecha, 25 abre, 50 fecha, 100 abre

armário 500:
d(500) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500
com isso: 1 abre, 2 fecha, 4 abre, 5 fecha, 10 abre, 20 fecha, 25 abre, 50 fecha, 100 abre, 125 fecha, 250 abre e 500 fecha.

armário 961:
d(961) = 1, 31, 961
com isso: 1 abre, 31 fecha, 961 abre

espero que tenha entendido, pois quando o número de divisores é impar forma um padrão(quadrados perfeitos): 1, 4, 9, 16, 25..., 961.