Ensino Médio

Mensagem não lidapor **pklaskoski** » 28 Ago 2014, 22:58 · Mensagem não lida por **pklaskoski** » 28 Ago 2014, 22:58

a) Na equação [tex3]x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2=0[/tex3], o número [tex3]1[/tex3] é raiz:

b) Se a equação [tex3]x^{3}-2x^{2}+x+m-1=0[/tex3] tem uma raiz dupla, então [tex3]m[/tex3] pode ser:

Resposta

Respostas:. a) tripla b) 2

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 28 Ago 2014, 23:20 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 28 Ago 2014, 23:20

Olá.

Letra a:

Aplicando Briot-Ruffini:

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 1 & -1 & -3 & 5 & -2 \\ \hline 1 & 1& 0 & -3 & 2 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & -2 & 0 & \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0 & & \\ \hline & 1 & 3 & & & \\ \hline \end{array}$

1 é raiz tripla. A outra raiz é $x = -2$ .

Letra b:

Seja $r$ a raiz dupla e $s$ a raiz simples. Pelas relações de Girard:

$2r + s = 2 \therefore s = 2 \cdot (1-r) \\ r \cdot r + r \cdot s + r \cdot s = 1 \therefore r^2 + 2 \cdot r \cdot 2 \cdot (1-r) = 1 \therefore r^2 + 4r - 4r^2 = 1 \therefore \\\\ -3r^2 + 4r - 1 = 0 \therefore 3r^2 - 4r + 1 = 0 \\\\ \Leftrightarrow r = \frac{4\pm 2}{6} \therefore r = 1 \text{ ou } r = \frac{2}{3} \Leftrightarrow s = 0 \text{ ou } s = \frac{2}{3}$

Porém, se $r = s = \frac{2}{3}$ , a equação teria uma raiz tripla. Como não é este o caso, ficamos com $r = 1, s = 0 \Leftrightarrow r \cdot r \cdot s = -(m-1) \therefore 0 = -m+1 \therefore m = 1$ .

Gabarito errado.

Outra maneira, mais rápida. Se $k$ é uma raiz dupla de $P(k)$ , então $k$ é uma raiz simples de $P'(k)$ - onde $P'(k)$ representa a primeira derivada de $P'(k)$ -. Assim:

$P'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = \frac{2}{3}$

O resto é o mesmo caminho.

Att.,
Pedro

Ensino Médio ⇒ Equações Algébricas

Equações Algébricas

Re: Equações Algébricas

Ensino Médio ⇒ Equações Algébricas

Equações Algébricas

Re: Equações Algébricas

Entrar | Registrar