Determine os valores reais de k tais que:
a) [tex3]x^{2}-(k+2)x+k^{2}-1=0[/tex3]
tenha uma raiz [tex3]3[/tex3]
vezes maior que a outra;
b) [tex3]x^{2}=2k\cdot (x-1)+1[/tex3]
admita as raízes cuja soma dos quadrados seja igual a [tex3]10[/tex3]
.
c) As raízes da equação [tex3]x^{2}+k=2x[/tex3]
satisfaçam a condição [tex3]7x_{2}-4x_{1}=47[/tex3]
.
Ensino Médio ⇒ Álgebra Tópico resolvido
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PedroCunha
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Mai 2014
26
13:04
Re: Álgebra
Olá.
Letra a:
Sejam as raízes [tex3]t[/tex3] e [tex3]3t[/tex3] . Pelas relações de Girard:
[tex3]\begin{cases}
t+3t = k+2 \therefore t = \frac{k+2}{4} \dots I \\
t \cdot 3t =k^2 - 1 \therefore 3 \cdot \left( \frac{k+2}{4} \right)^2 = k^2 - 1 \therefore 3 \cdot (k^2 + 4k + 4) = 16k^2 - 16 \therefore \\ 13k^2 - 12k - 28 = 0, k = 2 \text{ ou } k = -\frac{14}{13}
\end{cases}[/tex3]
Letra b:
Reescrevendo a equação:
[tex3]x^2 = 2k(x-1) + 1 \therefore x^2 = 2kx - 2k + 1 \therefore x^2 - 2k \cdot x + 2k-1[/tex3]
Sejam as raízes [tex3]x_1,x_2[/tex3] tais que [tex3]x_1^2+x_2^2 = 10 \therefore (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10[/tex3] .
Pelas relações de Girard:
[tex3]\begin{cases}
x_1+x_2 = 2k \\ x_1x_2 = 2k-1
\end{cases}[/tex3]
Então:
[tex3](2k)^2 - 2 \cdot (2k-1) = 10 \therefore 4k^2 - 4k + 2 = 10 \therefore 2k^2 - 2k + 1 = 5 \therefore \\ 2k^2 - 2k - 4 = 0 \therefore k^2 - k - 2 = 0 \therefore k = 2 \text{ ou } k = - 1[/tex3]
Letra c:
Reescrevendo a equação: [tex3]x^2 - 2x + k = 0[/tex3] . Pelas relações de Girard, [tex3]x_1 + x_2 = 2[/tex3] . Montando um sistema:
[tex3]\begin{cases}
x_1 + x_2 = 2 \\
-4x_1 + 7x_2 = 47
\end{cases} \Leftrightarrow x_1 = -3, x_2 = 5 \Leftrightarrow k = x_1x_2 \therefore k = -15[/tex3]
Att.,
Pedro
Letra a:
Sejam as raízes [tex3]t[/tex3] e [tex3]3t[/tex3] . Pelas relações de Girard:
[tex3]\begin{cases}
t+3t = k+2 \therefore t = \frac{k+2}{4} \dots I \\
t \cdot 3t =k^2 - 1 \therefore 3 \cdot \left( \frac{k+2}{4} \right)^2 = k^2 - 1 \therefore 3 \cdot (k^2 + 4k + 4) = 16k^2 - 16 \therefore \\ 13k^2 - 12k - 28 = 0, k = 2 \text{ ou } k = -\frac{14}{13}
\end{cases}[/tex3]
Letra b:
Reescrevendo a equação:
[tex3]x^2 = 2k(x-1) + 1 \therefore x^2 = 2kx - 2k + 1 \therefore x^2 - 2k \cdot x + 2k-1[/tex3]
Sejam as raízes [tex3]x_1,x_2[/tex3] tais que [tex3]x_1^2+x_2^2 = 10 \therefore (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10[/tex3] .
Pelas relações de Girard:
[tex3]\begin{cases}
x_1+x_2 = 2k \\ x_1x_2 = 2k-1
\end{cases}[/tex3]
Então:
[tex3](2k)^2 - 2 \cdot (2k-1) = 10 \therefore 4k^2 - 4k + 2 = 10 \therefore 2k^2 - 2k + 1 = 5 \therefore \\ 2k^2 - 2k - 4 = 0 \therefore k^2 - k - 2 = 0 \therefore k = 2 \text{ ou } k = - 1[/tex3]
Letra c:
Reescrevendo a equação: [tex3]x^2 - 2x + k = 0[/tex3] . Pelas relações de Girard, [tex3]x_1 + x_2 = 2[/tex3] . Montando um sistema:
[tex3]\begin{cases}
x_1 + x_2 = 2 \\
-4x_1 + 7x_2 = 47
\end{cases} \Leftrightarrow x_1 = -3, x_2 = 5 \Leftrightarrow k = x_1x_2 \therefore k = -15[/tex3]
Att.,
Pedro
Editado pela última vez por caju em 28 Out 2017, 21:50, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Razão: TeX --> TeX3
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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