Ensino MédioGeometria Plana: Área de Figuras Planas

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paulo testoni
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Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por paulo testoni »

Uma casa tem o formato de um triângulo de perímetro [tex3]42\text{m}[/tex3] e área [tex3]84\text{m}^2.[/tex3] O jardim consiste em [tex3]5\text{m}[/tex3] de terra em volta da casa. Calcule a área ocupada pelo jardim e a casa juntos.
Resposta:

[tex3](294 +25\pi) \text{m}^2[/tex3]

Última edição: paulo testoni (Ter 06 Fev, 2007 10:28). Total de 1 vez.


Paulo Testoni

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Thales Gheós
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Re: Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por Thales Gheós »

Jardim.png
Jardim.png (24.91 KiB) Exibido 1445 vezes
A figura acima ilustra a situação. A área do jardim é dada pelas áreas dos retângulos e pela soma das áreas dos setores circulares dos vértices.

Vê-se que cada setor circular tem um ângulo do tipo [tex3]180^\circ -\alpha[/tex3] e a soma dos três é:

[tex3]S_{\text{setor}}=180^\circ-\alpha+180^\circ-\beta+180^\circ-\delta=3.180^\circ-(\alpha+\beta+\delta)[/tex3] e como a soma [tex3]\alpha+\beta+\delta[/tex3] é a soma dos ângulos internos do triângulo, temos que a soma dos setores circulares é [tex3]S_{\text{setores}}=360[/tex3] ou uma circunferência de raio [tex3]5[/tex3] metros cuja área é [tex3]25\pi[/tex3] .

A soma das áreas dos retângulos é: [tex3]A_r = 5.42\Rightarrow A_r=210[/tex3] . A área total casa + jardim é então:

[tex3]A_t=210+84+25\pi[/tex3] ou [tex3]294+25\pi \text{m}^2[/tex3]

Última edição: Thales Gheós (Ter 06 Fev, 2007 11:52). Total de 1 vez.


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Re: Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por paulo testoni »

Hola Thales.

Muito interessante a sua resolução.
Mas não sei de onde vc arrumou esse [tex3]5\cdot 42[/tex3]

Note que esse triângulo é eqüilátero, pois:

o perímetro do triângulo é: [tex3]a + b + c = 42[/tex3]

a altura é a mesma para os três lados, logo:
  • [tex3]S = \frac{a\cdot h}{2} \Rightarrow 2S = a\cdot h\\
    S = \frac{b\cdot h}{2} \Rightarrow 2S = b\cdot h[/tex3]
    [tex3]S = \frac{c\cdot h}{2} \Rightarrow 2S = c\cdot h,[/tex3]
somando as três equações, fica:
  • [tex3]2S + 2S + 2S = a\cdot h + b\cdot h + c\cdot h\\
    6S = h\cdot (a + b + c)\\
    6S = 42\cdot h\\
    42\cdot h = 3\cdot 84\\
    h = \frac{3\cdot 84}{42}[/tex3]
    [tex3]h = 12,[/tex3]
substuindo esse valor em qualquer uma das três equações, encontramos:
  • [tex3]2S = a\cdot h\\
    12\cdot a = 3S\\
    a = \frac{3\cdot 84}{12}[/tex3]
    [tex3]a = 14,[/tex3]
como cada lado mede [tex3]14,[/tex3] então cada ângulo desse triângulo mede [tex3]60^\circ[/tex3] já que o triângulo é eqüilátero.

Como esse [tex3]14[/tex3] é um dos lados dos três retângulos e o outro lado é [tex3]5,[/tex3] então a área dos três retângulos é:
  • [tex3]3\cdot 5\cdot 14 = 210[/tex3]
Fazendo o prolongamento de um dos vértices do triângulo vamos ter um ângulo igual a [tex3]60^\circ[/tex3] já que ângulos opostos pelos vértices são iguais.
Sabendo que a soma do ângulo externo de um triângulo é igual a [tex3]180^\circ,[/tex3] então:
  • [tex3]180^\circ - 60^\circ = 120^\circ[/tex3]
Temos três setores circulares de [tex3]120^\circ,[/tex3] como como são [tex3]3[/tex3] vértices, digo três setores circulares. Temos:
  • [tex3]3\cdot 120^\circ = 360^\circ.[/tex3]
A área de uma cicunferência de raio igual a [tex3]5\text{m}[/tex3] mede:
  • [tex3]A = \pi\cdot r^2= 25\pi[/tex3]
O resto você já sabe.
Última edição: paulo testoni (Qua 07 Fev, 2007 10:19). Total de 2 vezes.


Paulo Testoni

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Thales Gheós
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Re: Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por Thales Gheós »

Olá Paulo, você escreveu:Muito interessante a sua resolução.
Mas não sei de onde vc arrumou esse [tex3]5\cdot 42[/tex3]
[tex3]5[/tex3] é a largura do retângulo do canteiro que se extende por todo o perímetro, logo [tex3]5\cdot 42[/tex3]

outra vez você escreveu:Note que esse triângulo é eqüilátero, pois:

o perímetro do triângulo é:
[tex3]a + b + c = 42[/tex3]
Agora sou eu quem não sabe como você descobriu que o triângulo era equilátero...
Última edição: Thales Gheós (Qua 07 Fev, 2007 14:57). Total de 1 vez.


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Re: Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por paulo testoni »

Hola Thales.

Na realidade eu só resolvi essa questão depois do seu desenho.
Quanto a sua pergunta, aí está a resposta:

[tex3]a = 14,[/tex3] como cada lado mede [tex3]14,[/tex3] então cada ângulo desse triângulo mede [tex3]60^\circ[/tex3] já que o triângulo é eqüilátero.
Última edição: paulo testoni (Sáb 10 Fev, 2007 21:20). Total de 1 vez.


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Re: Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por Thales Gheós »

Caro Paulo,

note que o triângulo não é necessáriamente equilátero. O equilátero é apenas um caso particular. O canteiro terá a mesma área para todos os triângulos de igual perímetro, já que o canteiro se estende com a mesma largura ao longo do comprimento do perímetro. A circunferência formada nos vértices também é a mesma para todos.

Na verdade, pelo enunciado, não há como concluir que se trata de um triângulo equilátero. Pode ser qualquer um.
Perímetro.png
Perímetro.png (86.87 KiB) Exibido 1436 vezes

Última edição: Thales Gheós (Seg 12 Fev, 2007 13:15). Total de 1 vez.


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