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Função Valor Mínimo

Enviado: 05 Fev 2014, 12:26
por Harim
[Questão retirada do livro Tópicos de Matemática para IME/ITA/Olimpíadas]

Se x e y são tais que 3x - y = 20, qual o menor valor de [tex3]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3] ?

*Não encontrei a resolução dessa questão no meu livro, mas minha resposta deu 2 [tex3]\sqrt{10}[/tex3] .
Resolvi usando o triangulo retângulo e a desigualdade de Cauchy-Schwarz!
Me corrijam se estiver errado


Desde já , obgdo!

Re: Função Valor Mínimo

Enviado: 05 Fev 2014, 12:44
por theblackmamba
A função 3x-y=20 representa uma reta. A função \sqrt{x^2+y^2} representa a distância de um ponto (x,y) da reta à origem. Ou seja, basta achar a menor distância da origem à reta. Portanto, devemos achar uma reta perpendicular a essa.

Reta que passa pela origem:
y=mx

y=3x-20

Relação de retas perpendiculares:
3m=-1\,\,\Rightarrow\,\,m=-\frac{1}{3}

Achando a intersecção das retas:
y=-\frac{1}{3}x
y=3x-20

-\frac{1}{3}x=3x-20\,\,\Rightarrow\,\,x=6\,\,\therefore\,\,y=-2

\sqrt{x^2+y^2}_{min}=\sqrt{40}=\boxed{2\sqrt{10}}

Se for possível, poste a sua solução também. Grande abraço.

Re: Função Valor Mínimo

Enviado: 05 Fev 2014, 13:20
por Harim
Fez por Geometria analítica, certo ? Ainda não estudei :s mas obrigado pela resposta! Ainda bem que estava certa

Minha resolução:

a = [tex3]\sqrt{x^{2}+ y^{2}}[/tex3]

[tex3]a^{2} = x^{2} + y^{2}[/tex3]

Fiz um triangulo retangulo onde a é sua hipotenusa, x e y são os catetos.
y = 3x - 20 é o lado oposto à [tex3]\theta[/tex3] e x é o lado adjacente a esse ângulo.

Sen [tex3]\theta[/tex3] = [tex3]\frac{3x-20}{a}[/tex3] e Cos [tex3]\theta[/tex3] = [tex3]\frac{x}{a}[/tex3]

Daí vem que a(3cos [tex3]\theta[/tex3] -sen [tex3]\theta[/tex3] ) = 20 (I)
Ou seja, a será mínimo quando 3cos[tex3]\theta[/tex3]-sen[tex3]\theta[/tex3] for máximo.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz: ([tex3]a^{2} + b^{2}[/tex3] )([tex3]x^{2} + y^{2}) \geq (ax+by)^{2}[/tex3] (Válida para números em [tex3]\mathbb{R}[/tex3] )

a= 3 ; x=cos [tex3]\theta[/tex3]
b= -1 ; y=sen [tex3]\theta[/tex3]

Daí vem que (9+1)(cos² [tex3]\theta[/tex3] +sen² [tex3]\theta[/tex3] )[tex3]\geq (3cos\theta -sen\theta[/tex3] )^2

10 [tex3]\geq[/tex3] (3cos [tex3]\theta -sen\theta[/tex3] )^2 , portanto o maior valor de 3cos [tex3]\theta[/tex3] -sen [tex3]\theta[/tex3] é [tex3]\sqrt{10}[/tex3]

Substituindo em (I) encontramos a=2 [tex3]\sqrt{10}[/tex3]
[tex3]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3] = 2 [tex3]\sqrt{10}[/tex3] (menor valor)

Re: Função Valor Mínimo

Enviado: 02 Abr 2024, 21:58
por GabrielIME21
Com relação a essa questão e se x e y tiverem que ser maiores ou iguais a zero? Qual seria o mínimo da função?