Ensino Médio

nitas · Mensagem não lida por **nitas** » Dom 30 Mar, 2008 19:10

A minha amiga Maria João convidou-me um certo dia para ir tomar um banho na bela piscina rectangular que a família tem na Praia das Maçãs. a certa altura, parei de nadar e reparei que estava a 8 metros exactos de um dos cantos, a 13 metros do canto seguinte e a 15 metros do terceiro canto. A que distância estava do último canto? Qual é a maior piscina (em área) onde isto poderia ter acontecido?

Mensagem não lidapor **caju** » Sex 04 Abr, 2008 11:19 · Mensagem não lida por **caju** » Sex 04 Abr, 2008 11:19

Olá nitas,

Veja a figura abaixo que representa a situação atual do nadador, que encontra-se no ponto E:

: 2_piscina_3.jpg (12.3 KiB) Exibido 683 vezes

Para a primeira parte da questão, iremos aplicar apenas o teorema de Pitágoras nos triângulos AGE, EHB, EIC e EFC, nesta ordem:

$\begin{cases} x^2=(AG)^2+(GE)^2\\8^2=(EH)^2+(HB)^2\\13^2=(EI)^2+(IC)^2\\15^2=(FC)^2+(FE)^2\end{cases}$

Para facilitar, vamos estipular nomes a alguns lados:

$(AD)=(BC)=a$
$(AB)=(DC)=b$
$(AF)=(BH)=c$
$(GB)=(IC)=d$

Assim, nosso sistema de equações acima descrito pode ser rescrito como:

$\begin{cases}x^2=(b-d)^2+c^2\\8^2=d^2+c^2\\13^2=d^2+(a-c)^2\\15^2=(a-c)^2+(b-d)^2\end{cases}$

Efetuando a seguinte manipulação das equações: (1)-(4)+(3)-(2), onde (1) indica a primeira equação, (2) a segunda equação, e assim sucessivamente, chegamos em:

$x^2-15^2+13^2-8^2=0$

$x^2=120$

$x=2\sqrt{30}\approx 10.95\text{m}$

A segunda parte da questão iremos calcular a área como sendo a soma das áreas dos triângulos AED, AEB, DEC e CEB, nesta ordem:

$\eta+\theta+\zeta+\epsilon = 2\pi$

$A=\frac{2\sqrt{30}\cdot 15\cdot\sin(\eta)}{2}+\frac{2\sqrt{30}\cdot 8\cdot\sin(\theta)}{2}+\frac{15\cdot 13\cdot\sin(\zeta)}{2}+\frac{8\cdot 13\cdot\sin(\epsilon)}{2}$

A soma acima será máxima quando cada uma de suas parcelas forem máximas. Note que cada parcela está multiplicada por seno de algum ângulo, ou seja, se conseguirmos maximizar cada um destes valores de seno (que varia de 0 a 1), conseguiremos maximizar a área.

Note que a soma dos ângulo é $360^{\circ}=90^{\circ}\cdot 4$ , ou seja, sendo o maior valor de seno igual a 1 quando o ângulo é $90^{\circ}$ , podemos concluir que a soma acima será máxima quando cada um dos ângulos valer $90^{\circ}$ .

$A_{maxima}=\frac{2\sqrt{30}\cdot 15\cdot\sin(90^{\circ})}{2}+\frac{2\sqrt{30}\cdot 8\cdot\sin(90^{\circ})}{2}+\frac{15\cdot 13\cdot\sin(90^{\circ})}{2}+\frac{8\cdot 13\cdot\sin(90^{\circ})}{2}$

$A_{maxima}=\frac{2\sqrt{30}\cdot 15}{2}+\frac{2\sqrt{30}\cdot 8}{2}+\frac{15\cdot 13}{2}+\frac{8\cdot 13}{2}=\frac{299+46\sqrt{30}}{2}\approx 275.47m^2$

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