Ensino MédioFatoração Tópico resolvido

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Set 2013 26 17:12

Fatoração

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:8010) »

Fatore a seguinte expressão:
(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5

Gabarito:
Resposta

5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)
P.S. Usando Polinômios Simétricos eu consegui chegar na seguinte expressão:
6(a+b+c)^3(ab+ac+bc)-5(a+b+c)^2abc-7(a+b+c)(ab+ac+bc)^2+6(ab+ac+bc)abc

Última edição: Auto Excluído (ID:8010) (Qui 26 Set, 2013 17:12). Total de 1 vez.



goncalves3718
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Re: Fatoração

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Sabendo que [tex3](x+y)^5 = x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y+5xy^4+y^5[/tex3] , desenvolveremos [tex3](a+b+c)^5[/tex3] , adotando [tex3]x=a[/tex3] e [tex3]y=b+c[/tex3] :

[tex3](a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 = [a+(b+c)]^5-a^5-b^5-c^5[/tex3]

[tex3]= a^5+5a^4(b+c) + 10a^3(b+c)^2 + 10a^2(b+c)^3 + 5a(b+c)^4+ (b+c)^5- a^5-b^5-c^5[/tex3]

[tex3]= 5a^4(b+c)+10a^3(b+c)^2 + 10a^2(b+c)^3+5a(b+c)^4 + (b+c)^5 -b^5 - c^5[/tex3]

Como [tex3]b^5+c^5 = (b+c)(b^4-b^3c+b^2c^2 - bc^3 +c^4)[/tex3] , então:

[tex3](a+b+c)^5 - a^5-b^5-c^5 = 5a^4(b+c)+ 10a^3(b+c)^+ 10a^2(b+c)^3 + 5a(b+c)^4 + (b+c)^5 - (b+c)(b^4-b^3c+b^2c^2-bc^3+c^4) [/tex3]

Colocando [tex3](b+c)[/tex3] em evidência, temos:

[tex3](a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 = (b+c)[ 5a^4+10a^3(b+c)+10a^2(b+c)^2+5a(b+c)^3+(b+c)^4- b^4+b^3c-b^2c^2+bc^3-c^4][/tex3]

Como [tex3](b+c)^4 = b^4+4b^3c+6b^2c^2+4bc^3+c^4[/tex3] , então:

[tex3](a+b+c)^5 - a^5-b^5-c^5 =(b+c)[ 5a^4+10a^3(b+c)+ 10a^2(b+c)^2 +5a(b+c)^3+b^4+4b^3c+6b^2c^2+4bc^3+c^4-b^4+b^3c-b^2c^2+bc^3-c^4][/tex3]

[tex3]= (b+c)[5a^4+10a^3(b+c)+ 10a^2(b+c)^2+5a(b+c)^3+5b^3c+5b^2c^2+5bc^3][/tex3]

[tex3]= 5(b+c) [a^4+2a^3(b+c)+2a^2(b+c)^2+ a(b+c)^3+b^3c+b^2c^2+bc^3][/tex3]

Como [tex3](b+c)^2 = b^2 +2bc+c^2[/tex3] e [tex3](b+c)^3 = b^3 +3b^2c+3bc^2+c^3[/tex3] , então:

[tex3](a+b+c)^5 - a^5-b^5-c^5 = 5(b+c)[a^4+2a^3(b+c)+2a^2(b^2+2bc+c^2) + a(b^3+3b^2c+3bc^2+c^3)+b^3c+b^2c^2+bc^3][/tex3]

Daí, concluímos que:

[tex3](a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 = 5(b+c)[a^4+2a^3b+2a^3c+2a^2b^2+4a^2bc+2a^2c^2+ab^3+3ab^2c+3abc^2+ac^3+b^3c+b^2c^2+bc^3][/tex3]

[tex3]=5(b+c)[(a^4+a^2b^2+a^2c^2)+ (a^3b+ab^3+abc^2)+(a^3c+ab^2c+ac^3)+a^2bc+b^3c+bc^3)+(a^3b+a^3c+a^2bc)+(a^2b^2+a^2bc+ab^2c)+ (a^2bc+a^2c^2+a^2bc)+(ab^2c+abc^2+b^2c^2)][/tex3]

[tex3]= 5(b+c)[a^2(a^2+b^2+c^2) + ab(a^2+b^2+c^2)+ ac(a^2+b^2+c~^2) +bc(a^2+b^2+c^2) + a^2(ab+ac+bc) +ab(ab+ac+bc)+ac(ab+ac+bc)+bc(ab+ac+bc)][/tex3]

[tex3]= 5(b+c) [(a^2+ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2)(a^2+ab+ac+bc)(ab+ac+bc)] \implies 5(b+c)[(a^2+ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)][/tex3]

Em [tex3]a^2+ab+ac+bc[/tex3] , temos:

[tex3]a(a+b)+c(a+b) \implies (a+b)(a+c)[/tex3]

Logo

[tex3](a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 = 5(a+b)(a+c)(b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)[/tex3]

Atenciosamente goncalves3718
Solução retirada de https://www.youtube.com/watch?v=NtLLyLk ... R&index=22




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