Ensino Médio ⇒ Números primos Tópico resolvido

[menelaus]

Quantas vezes o fator primo 11 aparece na decomposição do produto gerado por 100*101*...*1000 ?

Resposta

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Gabarito : 81

[Cássio]

Olá Menelaus.

Veja esta mensagem e esta mensagem.

Para usar o que coloquei acima, basta você notar que a quantidade de 11 que vão aparecer na decomposição de

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[tex3]1000![/tex3]

é justamente o expoente da maior potência de 11 que divide

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[tex3]1000!.[/tex3]

Aí você conta qual a maior potência de 11 que divide

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[tex3]1000!,[/tex3]

que é

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[tex3]E_{11}(1000!)=\left\lfloor\dfrac{1000}{11}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{1000}{11^2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{1000}{11^3}\right\rfloor+\ldots=90+8+0+0+\ldots=98.[/tex3]

Aí você subtrai a quantidade de 11 que vão aparece na decomposição de

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[tex3]99!:[/tex3]

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[tex3]E_{11}(99!)=\left\lfloor\dfrac{99}{11}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{99}{11^2}\right\rfloor+\ldots=9+0+\ldots=9[/tex3]

Pelas minhas contas, a resposta seria

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[tex3]98-9=89.[/tex3]

[Amoroso]

Olá Cássio
Por que você fez Polignac no 99!?

[Cássio]

Porque polignac se aplica para fatoriais, isto é, produto começando em 2. Como o produto que ele quer calcular começa em 100, a gente tira os fatores até 99!, que foi o que fiz.