Equação Exponencial - Fórum TutorBrasil - Matemática, Português, Física, Química e Biologia

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Primeira mensagem não lida • 2 mensagens • Página 1 de 1

Autor do Tópico olgario: Mensagens: 702; Registrado em: Sex 02 Nov, 2007 18:04; Última visita: 15-07-23

Fev 2008 26 15:54

Equação Exponencial

Mensagem não lidapor olgario » Ter 26 Fev, 2008 15:54

Mensagem não lida por olgario » Ter 26 Fev, 2008 15:54

Determinar o conjunto verdade da equação

[tex3]2x^{2\log_2x-4}\,+\,8\,=\,17.x^{\log_2x-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^{2\log_2x-4}\,+\,8\,=\,17.x^{\log_2x-2}[/tex3]

Resposta:

2,8 e [tex3]\, \frac{1}{2}[/tex3]

Atenciosamente
olgario

Última edição: olgario (Ter 26 Fev, 2008 15:54). Total de 1 vez.

olgario

Alexandre_SC: Mensagens: 505; Registrado em: Dom 06 Mai, 2007 21:13; Última visita: 28-06-11; Localização: Joinville - SC

Fev 2008 27 10:08

Re: Equação Exponencial

Mensagem não lidapor Alexandre_SC » Qua 27 Fev, 2008 10:08

Mensagem não lida por Alexandre_SC » Qua 27 Fev, 2008 10:08

Sua equação ficou ambígua.

[tex3]2\cdot x^{2\cdot \log_2 (x - 4)} + 8= 17\cdot x ^{\log_2(x-2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cdot x^{2\cdot \log_2 (x - 4)} + 8= 17\cdot x ^{\log_2(x-2)}[/tex3]

[tex3]2\cdot x^{2\cdot \log_2 (x) - 4} + 8= 17\cdot x ^{\log_2(x)-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cdot x^{2\cdot \log_2 (x) - 4} + 8= 17\cdot x ^{\log_2(x)-2}[/tex3]

Vou resolver a segunda que é mais fácil;

[tex3]2\cdot \left[{x^{(\log_2 (x) - 2)}}\right]^2 + 8= 17\cdot x ^{\log_2(x)-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cdot \left[{x^{(\log_2 (x) - 2)}}\right]^2 + 8= 17\cdot x ^{\log_2(x)-2}[/tex3]

Seja [tex3]u = x^{\log_2(x)-2}[/tex3]

temos

[tex3]u^2+8=17u[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u^2+8=17u[/tex3]

[tex3]u^2+8-17u= 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u^2+8-17u= 0[/tex3]

[tex3]u = \frac{17\pm\sqrt{17^2-4\cdot 2\cdot 8}}{2\cdot 2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u = \frac{17\pm\sqrt{17^2-4\cdot 2\cdot 8}}{2\cdot 2}[/tex3]

[tex3]u = \frac{17\pm\sqrt{289-64}}{4} = \frac{17\pm\sqrt{225}}{4} = \frac{17\pm 15}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u = \frac{17\pm\sqrt{289-64}}{4} = \frac{17\pm\sqrt{225}}{4} = \frac{17\pm 15}{4}[/tex3]

[tex3]\begin{cases} u = \frac{32}{4} = 8 \\ u = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases} u = \frac{32}{4} = 8 \\ u = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\end{cases}[/tex3]

Como

[tex3]u = x^{\log_2(x)-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u = x^{\log_2(x)-2}[/tex3]

[tex3]u = x^{\log_2(x)-\log_2 (2^2)} = x^{\log_2\left(\frac{x}{4}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u = x^{\log_2(x)-\log_2 (2^2)} = x^{\log_2\left(\frac{x}{4}\right)}[/tex3]

[tex3]\log_x( u ) = \log_2 \left(\frac{x}{4}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_x( u ) = \log_2 \left(\frac{x}{4}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{\log( u )}{\log (x)} = \frac{\log \left(\frac{x}{4}\right)}{\log (2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\log( u )}{\log (x)} = \frac{\log \left(\frac{x}{4}\right)}{\log (2)}[/tex3]

[tex3]\log( u ) = \log(x)\cdot \left[\frac{\log(x)-\log(4)}{\log(2)}\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log( u ) = \log(x)\cdot \left[\frac{\log(x)-\log(4)}{\log(2)}\right][/tex3]

[tex3]\log( u ) = \log(x)\cdot \left[\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(4)}{\log(2)}\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log( u ) = \log(x)\cdot \left[\frac{\log(x)}{\log(2)}-\frac{\log(4)}{\log(2)}\right][/tex3]

[tex3]\log( u ) = \log(x)\cdot \left[\frac{\log(x)}{\log(2)}-2\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log( u ) = \log(x)\cdot \left[\frac{\log(x)}{\log(2)}-2\right][/tex3]

Dividindo a expressão por [tex3]\log(2)[/tex3]

[tex3]\frac{\log( u )}{\log(2)} = \frac{\log(x)}{\log(2)}\cdot \left[\frac{\log(x)}{\log(2)}-2\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\log( u )}{\log(2)} = \frac{\log(x)}{\log(2)}\cdot \left[\frac{\log(x)}{\log(2)}-2\right][/tex3]

[tex3]\log_2( u ) = \log_2(x)\cdot\left[\log_2(x)-2\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2( u ) = \log_2(x)\cdot\left[\log_2(x)-2\right][/tex3]

Testando as duas soluções

[tex3]\begin{cases}\log_2(u) = 3 \\ \log_2(u) = - 1\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}\log_2(u) = 3 \\ \log_2(u) = - 1\end{cases}[/tex3]

Substituindo [tex3]v = \log_2 x[/tex3]

[tex3]\log_2 u = v^2- 2v[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2 u = v^2- 2v[/tex3]

Primeira solução

[tex3]v^2-2v = 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v^2-2v = 3[/tex3]

[tex3]v = \frac{2 \pm \sqrt{4+4\cdot 3}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v = \frac{2 \pm \sqrt{4+4\cdot 3}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}[/tex3]

[tex3]\begin{cases} v_1 = -1\\ v_2 = 3\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases} v_1 = -1\\ v_2 = 3\end{cases}[/tex3]

Na segunda solução

[tex3]v^2-2v = -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v^2-2v = -1[/tex3]

[tex3]v = \frac{2 \pm \sqrt{4-4}}{2} = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v = \frac{2 \pm \sqrt{4-4}}{2} = 1[/tex3]

[tex3]v_3 = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_3 = 1[/tex3]

Então, isolando [tex3]x[/tex3] em [tex3]v = \log_2 x[/tex3] temos [tex3]x = 2^v[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x_1 = 2^{v_1} = 2^{-1} = \frac 1 2 \\ x_2 = 2^{v_2} = 2^3 = 8 \\ x_3 = 2^{v_3} = 2^1 = 2\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x_1 = 2^{v_1} = 2^{-1} = \frac 1 2 \\ x_2 = 2^{v_2} = 2^3 = 8 \\ x_3 = 2^{v_3} = 2^1 = 2\end{cases}[/tex3]

Como eu suspeitava não poderia ser tão difícil quanto seria a primeira.

Última edição: Alexandre_SC (Qua 27 Fev, 2008 10:08). Total de 1 vez.

Se você não pode ajudar, atrapalhe, porque o importante é participar!

Alexandre_SC

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