Ensino Médio ⇒ Sistema de Equações Logarítmicas

[olgario]

Determinar Conjunto Verdade do Sistema:

[tex3]\left\{ \begin{array}{l}
\log (3x -2y)^{10} = \log (3y - 2x)^7 + 16\\
9\log (3y - 2x) = 5\log (3x - 2y) + 3\\
\end{array}\right.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left\{ \begin{array}{l}
\log (3x -2y)^{10} = \log (3y - 2x)^7 + 16\\
9\log (3y - 2x) = 5\log (3x - 2y) + 3\\
\end{array}\right.[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]S = \{(640,\,460)\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \{(640,\,460)\}[/tex3]

atenciosamente
olgario

[DiegoNunes]

[tex3]\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\log (3x - 2y)^{10} = \log (3y - 2x)^7 + 16 \\
9\log (3y - 2x) = 5\log (3x - 2y) + 3 \\
\end{array} \right. \\
................................................................................. \\
\left\{ \begin{array}{l}
10\log (3x - 2y) = 7\log (3y - 2x) + 16 \\
9\log (3y - 2x) = 5\log (3x - 2y) + 3 \\
\end{array} \right. \\
................................................................................. \\
\left\{ \begin{array}{l}
10\log (3x - 2y) - 7\log (3y - 2x) = 16......(1) \\
- 5\log (3x - 2y) + 9\log (3y - 2x) = 3......(2) \\
\end{array} \right. \\
................................................................................. \\
{\rm{Multiplicando a segunda sentenca por 2:}} \\
\left\{ \begin{array}{l}
10\log (3x - 2y) - 7\log (3y - 2x) = 16 \\
- 10\log (3x - 2y) + 18\log (3y - 2x) = 6 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Somando:}} \\
11\log (3y - 2x) = 22 \\
\log (3y - 2x) = 2 \\
3y - 2x = 100......(3) \\
........................................................................................ \\
{\rm{Agora multipliquemos a primeira sentenca por 9 e a}} \\
{\rm{segunda por 7:}} \\
\left\{ \begin{array}{l}
90\log (3x - 2y) - 63\log (3y - 2x) = 144 \\
- 35\log (3x - 2y) + 63\log (3y - 2x) = 21 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Somando:}} \\
55\log (3x - 2y) = 165 \\
\log (3x - 2y) = 3 \\
3x - 2y = 1000......(4) \\
................................................................................................ \\
{\rm{Agora}}{\rm{, com as sentencas (3) e (4) resolvemos = )}} \\
\left\{ \begin{array}{l}
- 2x + 3y = 100 \\
3x - 2y = 1000 \\
\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ Logo: }}x = 640{\rm{ e }}y = 460 \\
{\rm{Observe que satisfazem as CE's: }}3y - 2x > 0{\rm{ e }}3x - 2y > 0 \\
S = \left\{ {(640,460)} \right\} \\
\end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\log (3x - 2y)^{10} = \log (3y - 2x)^7 + 16 \\
9\log (3y - 2x) = 5\log (3x - 2y) + 3 \\
\end{array} \right. \\
................................................................................. \\
\left\{ \begin{array}{l}
10\log (3x - 2y) = 7\log (3y - 2x) + 16 \\
9\log (3y - 2x) = 5\log (3x - 2y) + 3 \\
\end{array} \right. \\
................................................................................. \\
\left\{ \begin{array}{l}
10\log (3x - 2y) - 7\log (3y - 2x) = 16......(1) \\
- 5\log (3x - 2y) + 9\log (3y - 2x) = 3......(2) \\
\end{array} \right. \\
................................................................................. \\
{\rm{Multiplicando a segunda sentenca por 2:}} \\
\left\{ \begin{array}{l}
10\log (3x - 2y) - 7\log (3y - 2x) = 16 \\
- 10\log (3x - 2y) + 18\log (3y - 2x) = 6 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Somando:}} \\
11\log (3y - 2x) = 22 \\
\log (3y - 2x) = 2 \\
3y - 2x = 100......(3) \\
........................................................................................ \\
{\rm{Agora multipliquemos a primeira sentenca por 9 e a}} \\
{\rm{segunda por 7:}} \\
\left\{ \begin{array}{l}
90\log (3x - 2y) - 63\log (3y - 2x) = 144 \\
- 35\log (3x - 2y) + 63\log (3y - 2x) = 21 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Somando:}} \\
55\log (3x - 2y) = 165 \\
\log (3x - 2y) = 3 \\
3x - 2y = 1000......(4) \\
................................................................................................ \\
{\rm{Agora}}{\rm{, com as sentencas (3) e (4) resolvemos = )}} \\
\left\{ \begin{array}{l}
- 2x + 3y = 100 \\
3x - 2y = 1000 \\
\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ Logo: }}x = 640{\rm{ e }}y = 460 \\
{\rm{Observe que satisfazem as CE's: }}3y - 2x > 0{\rm{ e }}3x - 2y > 0 \\
S = \left\{ {(640,460)} \right\} \\
\end{array}[/tex3]