Ensino Médio ⇒ Sistema de Equações Logarítmicas

[olgario]

Determinar o Conjunto Verdade do Sistema:

[tex3]\left\{ \begin{array}{l}
x + y =29 \\
\log x + \log y = 2 \\
\end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left\{ \begin{array}{l}
x + y =29 \\
\log x + \log y = 2 \\
\end{array}[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]S = \{(25,\,4);\,(4,\,25)\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \{(25,\,4);\,(4,\,25)\}[/tex3]

atenciosamente
olgario

[DiegoNunes]

[tex3]\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 29 \\
\log x + \log y = 2 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Na segunda sentenca do sistema temos:}} \\
\log x + \log y = 2 \\
\log xy = 2 \\
xy = 10^2 \\
xy = 100 \\
{\rm{Na primeira sentenca:}} \\
x + y = 29 \Rightarrow x = 29 - y \\
{\rm{Substituindo:}} \\
xy = 100 \\
(29 - y) \cdot y = 100 \\
29y - y^2 = 100 \\
y^2 - 29y + 100 = 0 \\
\Delta = ( - 29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 \\
y = \frac{{29 \pm \sqrt {441} }}{2} = \left\{ \begin{array}{l}
y_1 = \frac{{29 + 21}}{2} = 25 \Rightarrow x_1 = 29 - y_1 = 29 - 25 = 4 \\
y_2 = \frac{{29 - 21}}{2} = 4 \Rightarrow x_2 = 29 - y_2 = 29 - 4 = 25 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Logo: }}S = \left\{ {\left( {4,25} \right);\left( {25,4} \right)} \right\} \\
{\rm{Observe que a CE's sao: }}x > 0{\rm{ e }}y > 0{\rm{ que sao satisfeitas}}{\rm{.}} \\
\end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 29 \\
\log x + \log y = 2 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Na segunda sentenca do sistema temos:}} \\
\log x + \log y = 2 \\
\log xy = 2 \\
xy = 10^2 \\
xy = 100 \\
{\rm{Na primeira sentenca:}} \\
x + y = 29 \Rightarrow x = 29 - y \\
{\rm{Substituindo:}} \\
xy = 100 \\
(29 - y) \cdot y = 100 \\
29y - y^2 = 100 \\
y^2 - 29y + 100 = 0 \\
\Delta = ( - 29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 \\
y = \frac{{29 \pm \sqrt {441} }}{2} = \left\{ \begin{array}{l}
y_1 = \frac{{29 + 21}}{2} = 25 \Rightarrow x_1 = 29 - y_1 = 29 - 25 = 4 \\
y_2 = \frac{{29 - 21}}{2} = 4 \Rightarrow x_2 = 29 - y_2 = 29 - 4 = 25 \\
\end{array} \right. \\
{\rm{Logo: }}S = \left\{ {\left( {4,25} \right);\left( {25,4} \right)} \right\} \\
{\rm{Observe que a CE's sao: }}x > 0{\rm{ e }}y > 0{\rm{ que sao satisfeitas}}{\rm{.}} \\
\end{array}[/tex3]