Ensino Médio ⇒ Equação Exponencial

[olgario]

Determinar conjunto verdade da equação:

• [tex3]\left(x^{\log_4x+2}\right)^5 = (2x^4)^6[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\left(x^{\log_4x+2}\right)^5 = (2x^4)^6[/tex3]

Resposta:

---

64 e [tex3]\frac{1}{\sqrt[5]{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\sqrt[5]{4}[/tex3]

atenciosamente
olgario

[DiegoNunes]

Ola Olgario

CE: [tex3]x > 0.[/tex3]

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[tex3]x > 0.[/tex3]

• [tex3]\left( {x^{\log _4 x + 2} } \right)^5 = \left( {2x^4 } \right)^6[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\left( {x^{\log _4 x + 2} } \right)^5 = \left( {2x^4 } \right)^6[/tex3]

Aqui adotaremos um artifício. Seja [tex3]x = 2^k .[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 2^k .[/tex3]

Então temos a equação:

• [tex3]\left[ {\left( {2^k } \right)^{\log _4 2^k + 2} } \right]^5 = \left( {2 \cdot 2^{4k} } \right)^6 \\
  \left( {2^k } \right)^{5k\log _4 2 + 10} = \left( {2^{4k + 1} } \right)^6 \\
  \left( {2^k } \right)^{\frac{5}{2}k + 10} = 2^{24k + 6} \\
  2^{\frac{5}{2}k^2 + 10k} = 2^{24k + 6}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\left[ {\left( {2^k } \right)^{\log _4 2^k + 2} } \right]^5 = \left( {2 \cdot 2^{4k} } \right)^6 \\
\left( {2^k } \right)^{5k\log _4 2 + 10} = \left( {2^{4k + 1} } \right)^6 \\
\left( {2^k } \right)^{\frac{5}{2}k + 10} = 2^{24k + 6} \\
2^{\frac{5}{2}k^2 + 10k} = 2^{24k + 6}[/tex3]

Igualando os expoentes:

• [tex3]\frac{5}{2}k^2 + 10k = 24k + 6 \\
  5k^2 + 20k = 48k + 12 \\
  5k^2 - 28k - 12 = 0 \\
  \triangle = ( - 28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot ( - 12) = 784 + 240 = 1024 \\
  k = \frac{{28 \pm \sqrt {1024} }}{{10}} = \left\{ k_1 = \frac{{28 + 32}}{{10}} = 6 \\ k_2 = \frac{{28 - 32}}{{10}} = - \frac{2}{5}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{5}{2}k^2 + 10k = 24k + 6 \\
5k^2 + 20k = 48k + 12 \\
5k^2 - 28k - 12 = 0 \\
\triangle = ( - 28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot ( - 12) = 784 + 240 = 1024 \\
k = \frac{{28 \pm \sqrt {1024} }}{{10}} = \left\{ k_1 = \frac{{28 + 32}}{{10}} = 6 \\ k_2 = \frac{{28 - 32}}{{10}} = - \frac{2}{5}[/tex3]

Substituindo [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

em [tex3]x = 2^k :[/tex3]

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[tex3]x = 2^k :[/tex3]

• [tex3]x_1 = 2^{k_1 } = 2^6 = 64 \\
  x_2 = 2^{k_2 } = 2^{ - \frac{2}{5}} = \left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{{\sqrt[5]{4}}}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]x_1 = 2^{k_1 } = 2^6 = 64 \\
x_2 = 2^{k_2 } = 2^{ - \frac{2}{5}} = \left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{{\sqrt[5]{4}}}[/tex3]