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O conjunto de todos os x para os quais [tex3]\log_\frac{1}{2}(-x^{2}+5x+24)>\log_\frac{1}{2}18[/tex3]

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[tex3]\log_\frac{1}{2}(-x^{2}+5x+24)>\log_\frac{1}{2}18[/tex3]

é:

a) [tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,x<-1\text{ ou }x>6\}[/tex3]

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[tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,x<-1\text{ ou }x>6\}[/tex3]

b) [tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,x<-3\text{ ou }x>8\}[/tex3]

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[tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,x<-3\text{ ou }x>8\}[/tex3]

c) [tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,/-3 < x < -1\text{ ou }6 < x < 8\}[/tex3]

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[tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,/-3 < x < -1\text{ ou }6 < x < 8\}[/tex3]

d) [tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,-4 < x < 2\text{ ou }7 < x < 9\}[/tex3]

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[tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,-4 < x < 2\text{ ou }7 < x < 9\}[/tex3]

e) [tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,/2 < x < 7\}\}[/tex3]

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[tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,/2 < x < 7\}\}[/tex3]

Olá Almondega ,

Condição de existencia :

[tex3]-x^2 +5x +24 >0[/tex3]

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[tex3]-x^2 +5x +24 >0[/tex3]

[tex3]\rightarrow 8<x<-3[/tex3]

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[tex3]\rightarrow 8<x<-3[/tex3]

[tex3]\log_\frac{1}{2}(-x^{2}+5x+24)>\log_\frac{1}{2}18[/tex3]

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[tex3]\log_\frac{1}{2}(-x^{2}+5x+24)>\log_\frac{1}{2}18[/tex3]

como a base está no intervalo [tex3]0< k<1[/tex3]

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[tex3]0< k<1[/tex3]

invertemos o sinal da desigualdade e ficamos com :

[tex3]-x^{2}+5x+24 < 18 \\ \\ \\
-x^2 +5x +6 <0 \rightarrow x >6 \,\,\,\,\,\,\, ou \,\,\,\,\,\,\,x<-1[/tex3]

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[tex3]-x^{2}+5x+24 < 18 \\ \\ \\
-x^2 +5x +6 <0 \rightarrow x >6 \,\,\,\,\,\,\, ou \,\,\,\,\,\,\,x<-1[/tex3]

Fazendo a intersecção dos intervalos da condição de existencia e da equação logaritmica obtemos
[tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,-3 < x < -1\text{ ou }6 < x < 8\}[/tex3]

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[tex3]\{x\in \mathbb{R}\,|\,-3 < x < -1\text{ ou }6 < x < 8\}[/tex3]

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