Ensino MédioFunção Bijetora

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ramonss
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Função Bijetora

Mensagem não lida por ramonss »

Demonstre que [tex3]f,[/tex3] definida no intervalo [tex3]\;\;0 < x < s\;\; (s > 0)[/tex3] do seguinte modo: [tex3]f(x)=\frac{2x-s}{x(s-x)}[/tex3] é uma função bijetora desse intervalo dos reais.

Última edição: MateusQqMD (Seg 06 Abr, 2020 22:45). Total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3



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jrneliodias
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Re: Função Bijetora

Mensagem não lida por jrneliodias »

Olá, Ramons.

Para uma função ser bijetora, ela deve ser injeitora e sobrejetora.

1º Parte: Sobrejeção

Note que para [tex3]f(x)[/tex3] existir, [tex3]x(s-x)\neq0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,x\neq0\,\,\,\,ou\,\,\,\,x\neq s[/tex3]
E já está garantida no domínio da função. Por isso, para quaquer [tex3]x[/tex3] pertencente ao intervalo [tex3][0,s][/tex3] determinará pelo menos um [tex3]f(x)[/tex3] . Logo, [tex3]f[/tex3] é sobrejetora.

2º Parte: Injeção

Já provamos que existe pelo menos um y para cada x, porém para ser injetora, devemos mostrar que para cada y existe somente um x:
[tex3]y=\frac{2x-s}{x(s-x)}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,yx(s-x)=2x-s\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,yx^2+(2-sy)x-s=0[/tex3]

Resolvendo a equação quadrada em [tex3]x[/tex3] teremos:
[tex3]x=\frac{sy-2\pm\sqrt{(sy-2)^2+4ys}}{2y}[/tex3]

Preste atenção. [tex3]\left|sy-2\right|=\left|\sqrt{(sy-2)^2}\right|\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\left|sy-2\right|<\left|\sqrt{(sy-2)^2+4ys}\right|[/tex3]

Logo [tex3]x=\frac{(sy-2)-\sqrt{(sy-2)^2+4ys}}{2y}<0[/tex3]

Só que isso é um absurdo, pois [tex3]0<x<s[/tex3] . Assim:

[tex3]x=\frac{sy-2+\sqrt{(sy-2)^2+4ys}}{2y}[/tex3]

Portanto, para cada y existe apenas um x provando que [tex3]f[/tex3] é injetora. Sendo [tex3]f[/tex3] injetora e sobrejetora, ela é bijetora.

Espero ter ajudado, abraço.

Última edição: MateusQqMD (Seg 06 Abr, 2020 22:45). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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viniciusrts
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Re: Função Bijetora

Mensagem não lida por viniciusrts »

Olá como você considerou que 4ys é positivo?
Pois você somou na raiz e assumiu que aquele modulo seria maior, mas por exemplo se y for negativo a raiz se tornará menor do que a anterior tendo um valor menor, certo?

Não entendi essa passagem poderia me explicar por que o Y assume valor positivo?



Auto Excluído (ID:20047)
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Ago 2019 25 22:23

Re: Função Bijetora

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20047) »

Alguém poderia me fazer uma explicação do porquê da 1º Parte determinar uma sobrejeção?A restrição que achamos do x não determinaria apenas o intervalo domínio?Como que,a partir dessa restrição,posso dizer que o conjunto imagem da função é igual ao conjunto do contra domínio?Não estou conseguindo relacionar uma coisa com a outra...



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csmarcelo
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Ago 2019 26 08:11

Re: Função Bijetora

Mensagem não lida por csmarcelo »

sirisaac, concordo contigo e também não vejo relação. Eu visualizo a sobrejeção com a ajuda do conceito de limite.

Quando [tex3]x[/tex3] se aproxima de [tex3]s[/tex3] , [tex3]f(x)[/tex3] se aproxima de [tex3]\frac{s}{0}[/tex3] , com números cada vez maiores no numerador e mais próximos de zero no denominador de tal forma que [tex3]\frac{s}{0}[/tex3] tenderá a [tex3]+\infty[/tex3] .

Quando [tex3]x[/tex3] se aproxima de [tex3]0[/tex3] , [tex3]f(x)[/tex3] se aproxima de [tex3]\frac{-s}{0}[/tex3] , com números cada vez menores no numerador e mais próximos de zero no denominador de tal forma que [tex3]\frac{s}{0}[/tex3] tenderá a [tex3]-\infty[/tex3] .




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