Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial - Esfera Circunscrita em um Icosaedro Tópico resolvido

[theblackmamba]

Calcular a medida do raio de uma esfera circunscrita em um icosaedro regular cuja aresta mede

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[tex3]a[/tex3]

.

Resposta

---

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[tex3]\frac{a}{4}\cdot \left(\sqrt{22+2\sqrt{5}}\right)[/tex3]

[Tassandro]

theblackmamba,
Seja [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

a altura do triângulo equilátero que forma a face do icosaedro e que define quatro dos seis lados do hexágono.
Precisamos determinar a diagonal m do hexágono não regular porque esta equivale ao diâmetro da esfera circunscrita.
Como o hexágono é não regular e não possuímos informações acerca dos ângulos,
precisamos seccionar o icosaedro regular por outro plano, tal que a intersecção do icosaedro regular com esse plano é um pentágono regular, cuja diagonal d está contida no plano anterior. Como sabemos, a diagonal de um pentágono regular de lado [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

mede [tex3]\frac{\sqrt5+1}{2}a[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt5+1}{2}a[/tex3]

, assim, por Pitágoras,
[tex3]{m^2=d^2+a^2\to}\\
{m^2=\(\frac{\sqrt5+1}{2}a\)^2+a^2\therefore m=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}a}\tag*{}[/tex3]

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[tex3]{m^2=d^2+a^2\to}\\
{m^2=\(\frac{\sqrt5+1}{2}a\)^2+a^2\therefore m=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}a}\tag*{}[/tex3]

20200531_072045.jpg (8.35 KiB) Exibido 470 vezes

(seção passando pelo centro e por dois pares de vértices
opostos)

[Barbosajoao7]

Professor, como garantir que o triângulo de lados $d$, $m$ e $a$ é retângulo?