Ensino Médio

Olá, amantes da matemática, esta é a minha primeira postagem neste fórum e gostaria que algum colega me ajudasse nessa questão:

Dados os pontos [tex3]M(a;\,0)[/tex3] e [tex3]N(0;\,a),[/tex3] determinar [tex3]P[/tex3] de modo que o triangulo [tex3]MNP[/tex3] seja equilátero.

Mensagem não lidapor **John** » Seg 07 Jan, 2008 22:53 · Mensagem não lida por **John** » Seg 07 Jan, 2008 22:53

Seja [tex3]P = (x, y)[/tex3] . Então, pelo enunciado devemos ter:

d(P, M) = d(P, N) = d(M, N).

Note que:

[tex3]d(M, N) = \sqrt{(a - 0)^{2} + (0 - a)^{2}} = \sqrt{2a^{2}}[/tex3]

[tex3]d(P, N) = \sqrt{(x - 0)^{2} + (y - a)^{2}} = \sqrt{x^{2} + (y - a)^{2}}[/tex3]

[tex3]d(P, M) = \sqrt{(x - a)^{2} + (y - 0)^{2}} = \sqrt{(x-a)^{2} + y^{2}}[/tex3]

Como devemos ter d(P, M) = d(M, N), obtemos

[tex3]\sqrt{(x-a)^{2} + y^{2}} = \sqrt{2a^{2}}[/tex3]

Elevando ambos os membros ao quadrado,

[tex3](x-a)^{2} + y^{2} = 2a^{2}[/tex3]

[tex3]x^{2} -2ax + a^{2}+ y^{2} = 2a^{2}[/tex3]

[tex3]x^{2} -2ax + y^{2} = a^{2}[/tex3] (I)

Agora de d(P, N) = d(M, N), obtemos

[tex3]\sqrt{x^{2} + (y - a)^{2}} = \sqrt{2a^{2}}[/tex3]

Elevando ambos os membros ao quadrado,

[tex3]x^{2} + (y - a)^{2} = 2a^{2}[/tex3]

[tex3]x^{2} + y^{2} -2ay + a^{2} = 2a^{2}[/tex3]

[tex3]x^{2} + y^{2} -2ay = a^{2}[/tex3] (II)

Fazendo (I) - (II), obtemos:

[tex3](x^{2} -2ax + y^{2}) - (x^{2} + y^{2} -2ay) = a^{2} - a^{2}[/tex3]

[tex3]-2ax + 2ay =0[/tex3]

[tex3]x = y[/tex3]

Substituindo [tex3]y = x[/tex3] na equação (I), obtemos:

[tex3]x^{2} -2ax + x^{2} = a^{2}[/tex3]

[tex3]2x^{2} -2ax - a^{2} = 0[/tex3]

[tex3]\Delta = 12a^{2}[/tex3]

Assim, [tex3]x = \frac{2a + \sqrt{12a^{2}}}{4}[/tex3] ou [tex3]x = \frac{2a - \sqrt{12a^{2}}}{4}[/tex3]

Portanto,

[tex3]P = \left(\frac{2a + \sqrt{12a^{2}}}{4} , \frac{2a + \sqrt{12a^{2}}}{4} \right)[/tex3] ou [tex3]P = \left(\frac{2a - \sqrt{12a^{2}}}{4} , \frac{2a - \sqrt{12a^{2}}}{4} \right)[/tex3] .

Fatorando, temos:

[tex3]P = \left(\frac{a + |a|\sqrt{3}}{2} , \frac{a + |a|\sqrt{3}}{2} \right)[/tex3] ou [tex3]P = \left(\frac{a - |a|\sqrt{3}}{2} , \frac{a - |a|\sqrt{3}}{2} \right)[/tex3] .

Uma alternativa seria perceber que o ponto P está sobre a mediatriz do segmento MN. Não é difícil perceber que essa mediatriz seria a reta [tex3]y = x[/tex3] (bissetriz dos quadrantes ímpares), já indicando que o ponto P tem abscissa e ordenada iguais.
Podemos determinar essas coordenadas sabendo que a distância de P até o ponto médio do lado MN (vamos chamar de Q=(a/2, a/2)) é igual à altura do triângulo MNP. Dado que MN = [tex3]a\cdot\sqrt{2}[/tex3] , então a altura vale [tex3]a\cdot\sqrt{6}/2[/tex3] .
Se fazemos P = (x,x), temos:
d(P,Q) = [tex3]a\cdot\sqrt{6}/2[/tex3] .
[tex3]\sqrt{2\left(x-\frac{a}{2}\right)^2}=a\cdot\sqrt{6}/2[/tex3] .
[tex3]\sqrt{2}\left|x-\frac{a}{2}\right|=a\cdot\sqrt{6}/2[/tex3]
[tex3]\left|x-\frac{a}{2}\right|=a\cdot\sqrt{3}/2[/tex3]
De onde vem as soluções encontradas pelo John.

Valeu, John! só falfava esta questão da minha lista de geomtria amlítica plana, qualquer dúvida volto a postar. " A geometria é linda "

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