Ensino Médio

Na figura, $AB$ é um diâmetro da circunferência maior e $CD$ é perpendicular a $AB$ . A circunferência $C_1$ (de raio $r_1$ ) é tangente aos $3$ lados do $\Delta ABC$ , $C_2$ (de raio $r_2$ ) e $C_3$ (de raio $r_3$ ) são tangentes a $AB$ , $CD$ e à circunferência maior.

: circ.png (38.19 KiB) Exibido 3304 vezes

Então o valor da expressão $S=\frac{r_2+r_3}{r_1}$ é igual a :

$A)\,\,1\\B)\,\,2\\C)\,\,1/2\\D)\,\,1/4\\E)\,\,3$

Resposta

$B$

Boa tare a todos !

Alguém tem alguma ideia de como resolver ?

Sei que é difícil, mas se alguém puder dar alguma dica agradeço antecipadamente !
Valeu

Olá pessoal,
Juro que já tentei pensar nessa questão: ligar pontos, traçar retas... Mas as estratégias não levam a lugar algum pois as circunferências não são tangentes entre si.

O que consegui: Indo pelo gabarito a distância entre os pontos de tangência dos círculos 2 e 3 ao lado AB tem que ser igual ao diâmetro do círculo 1. Visualmente é viável mas não tenho como provar.

Se puderem me dar uma dica agradeceria muito!

Abraço.

TheBlack, talvez esse link aqui te de uma ajuda:

Resposta

http://pir2.forumeiros.com/t21676-circu ... -triangulo

Att.,
Pedro

é simples,r2+r3=2r1, logo é só substituir [tex3]\frac{2r1}{r1}=2[/tex3]

espero ter ajudado.

é simples,r2+r3=2r1

O grande problema é como provar isso né rsrsrs

Uma ideia >
1- a+b-c=2R1
2 -C2 tem que está no meio do semi círculo AD , pois é tangente ao diâmetro e a C1 , então R2 é AB/2=c/2
3 - R3, penso que possa ser calculado trabalhando no triângulo ABC , achando a projeção de CB (a) sobre AB , então R3 seria essa projeção dividido por 2 . Estou fora de órbita?

Começamos aqui onde prova-se que sendo [tex3]T[/tex3] o ponto de contato de [tex3]C_3[/tex3] com [tex3]AB[/tex3] temos [tex3]AT = AC = AD[/tex3] então [tex3]\angle ATD = 90 - \frac{\angle A}2 \implies \angle CDT = \frac{\angle A}2[/tex3]
logo podemos encontrar facilmente o ponto [tex3]T[/tex3] seja [tex3]M [/tex3] o encontro da bissetriz interna do ângulo [tex3]A[/tex3] com o circuncírculo de [tex3]\Delta ABC[/tex3] então [tex3]T = MD \cap AB[/tex3] .

Logo [tex3]\tg \frac{ A}2 = \frac{r_3}{CD} = \frac{r_1}{p-a}[/tex3]

analogamente [tex3]\tg(45- \frac{ A}2) = \frac{r_2}{CD} = \frac{r_1}{p-b} [/tex3]
como
[tex3]\frac{r_3}{CD} + \frac{r_2}{CD} = r_1(\frac{1}{p-a}+\frac1{p-b}) = r_1\frac{2p -a-b}{(p-a)(p-b)}[/tex3]
[tex3]= cr_1\frac{1}{(p-a)(p-b)}= (cpr_1^2)\frac{1}{S^2} = \frac{cr_1}{S} = \frac{2r_1}{CD}[/tex3]

portanto
[tex3]S=2[/tex3]

percebi um erro de digitação: onde estão [tex3]\frac{r_2}{CD}[/tex3] e [tex3]\frac{r_3}{CD}[/tex3] troquem [tex3]CD[/tex3] por [tex3]\frac{CD}2[/tex3] eu confundi [tex3]D[/tex3] com o pé da altura de [tex3]C[/tex3] em relação à base [tex3]AB[/tex3]

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