Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Área de Figuras Planas

[rean]

Na figura, a circunferência de centro [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

tem raio [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

e o triângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

é equilátero. Sabendo [tex3]PQ\,\parallel\, BC,[/tex3]

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[tex3]PQ\,\parallel\, BC,[/tex3]

determine as áreas do triângulo [tex3]APQ[/tex3]

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[tex3]APQ[/tex3]

e do trapézio [tex3]PQBC.[/tex3]

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[tex3]PQBC.[/tex3]

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o triângulo equilátero divide a circunferência em 3 partes de 120º. Aplicando a lei dos cossenos encontramos o lado do triângulo, que será [tex3]2 \sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]2 \sqrt{3}[/tex3]

. Já que o triângulo é equilátero e PQ//BC os segmentos PB e QC são iguais. Aplica a semelhança e pronto.

[tex3]\frac{2 \sqrt{3} - x}{2 \sqrt{3}} = \frac{2}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2 \sqrt{3} - x}{2 \sqrt{3}} = \frac{2}{3}[/tex3]

ahhh, a altura do triângulo menor é o raio, a do maior é o lado vezes [tex3]\frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{ \sqrt{3}}{2}[/tex3]

que é igual a 3.

resolvendo isso aó, encontra-se [tex3]x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

APQ terá lado igual a [tex3]\frac{4 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{4 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

e área de [tex3]\frac{4 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{4 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

. A semi-soma das bases do trapézio é igual a [tex3]\frac{5 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{5 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

. Altura igual a [tex3]3-2 = 1[/tex3]

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[tex3]3-2 = 1[/tex3]

. Logo, a área vale [tex3]\frac{5 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{5 \sqrt{3}}{3}[/tex3]

.