Ensino Médio ⇒ Inteiros Tópico resolvido
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Mar 2012
29
18:07
Inteiros
Determine todos pares de inteiros
tais que .
Última edição: theblackmamba (Qui 29 Mar, 2012 18:07). Total de 1 vez.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
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Mar 2012
30
19:24
Re: Inteiros
Observamos que (0,2) é solução.
Temos que [tex3]3\cdot2^x + 1[/tex3] deve ser um quadrado perfeito.
Analisando os últimos dígitos, temos que y deve ser um inteiro terminado em 3 ou 5.
Se é terminado em 5, então y = 5k. Assim:
[tex3]3\cdot2^x = (5k+1)(5k-1)[/tex3]
A parcela da direita da igualdade só pode ter fatores 2 e apenas um fator 3.
No outro caso, chamando [tex3]y=10k+3[/tex3] , temos:
[tex3]3\cdot2^x = 4(5k+1)(5k+2)[/tex3] .
Agora fica mais fácil de analisar. Falta considerar um monte de casos, mas creio que sai.
Temos que [tex3]3\cdot2^x + 1[/tex3] deve ser um quadrado perfeito.
Analisando os últimos dígitos, temos que y deve ser um inteiro terminado em 3 ou 5.
Se é terminado em 5, então y = 5k. Assim:
[tex3]3\cdot2^x = (5k+1)(5k-1)[/tex3]
A parcela da direita da igualdade só pode ter fatores 2 e apenas um fator 3.
No outro caso, chamando [tex3]y=10k+3[/tex3] , temos:
[tex3]3\cdot2^x = 4(5k+1)(5k+2)[/tex3] .
Agora fica mais fácil de analisar. Falta considerar um monte de casos, mas creio que sai.
Última edição: triplebig (Sex 30 Mar, 2012 19:24). Total de 1 vez.
Mar 2012
30
19:30
Re: Inteiros
Boa tarde!theblackmamba escreveu:Determine todos pares de inteirostais que .
[tex3]y^{2} - 1 = 2^{x} + 2^{x+1} = 2^{x}(1+2) = 3*2^{x}[/tex3]
[tex3](y + 1)(y - 1) = 3*2^{x}[/tex3]
A diferença entre os dois fatores do primeiro membro é igual a:
[tex3](y + 1) - (y - 1) = y + 1 - y - 1 = 2[/tex3]
Podemos, então, fazer:
[tex3]y + 1 = p[/tex3]
[tex3]y - 1 = p - 2[/tex3]
[tex3]p * (p-2) = 3 * 2^{x}[/tex3]
Passando para logaritmos, fica:
[tex3]log(p) + log(p-2) = log(3) + x*log(2)[/tex3]
[tex3]x*log(2) = log(p) + log(p-2) - log(3)[/tex3]
[tex3]x = \frac{log(p) + log(p-2) - log(3)}{log(2)}[/tex3]
Como x deve ser inteiro, um dos dois primeiros logs do numerador deverá conter, entre diferentes quantidades de log(2), um (e somente um) log(3), para assim anular o log(3) negativo que está no final do numerador.
Assim sendo, podemos fazer:
[tex3]p = 3*2^{t}[/tex3]
[tex3]p-2 = 2^{u}[/tex3]
Cujas únicas soluções possíveis são três:
(i)
[tex3]t = 0[/tex3]
[tex3]u = 0[/tex3]
[tex3]p = 3*2^0 = 3*1 = 3[/tex3]
[tex3]p-2 = 2^0 = 1[/tex3]
[tex3]3*1 + 1 = 4 = 2^{2}[/tex3]
[tex3]1 + 2^{0} + 2^{1} = 2^{2}[/tex3]
(ii)
[tex3]t = 1[/tex3]
[tex3]u = 2[/tex3]
[tex3]p = 3*2^1 = 3*2 = 6[/tex3]
[tex3]p-2 = 2^2 = 4[/tex3]
[tex3]6*4 + 1 = 25 = 5^{2}[/tex3]
[tex3]1 + 2^{3} + 2^{4} = 5^{2}[/tex3]
Agora, nesta, invertemos os valores entre p e p-2:
(iii)
[tex3]t = 1[/tex3]
[tex3]u = 3[/tex3]
[tex3]p = 2^{3} = 8[/tex3]
[tex3]p-2 = 3*2^{1}[/tex3]
[tex3]6*8 + 1 = 49 = 7^{2}[/tex3]
[tex3]1 + 2^{4} + 2^{5} = 7^{2}[/tex3]
==============================================================================
Uma outra maneira de resolver seria analisar a casa das unidades de [tex3]y^{2}[/tex3] na equação:
[tex3]3*2^{x} = y^{2} - 1[/tex3]
Os quadrados perfeitos terminam somente em:
[tex3]0, 1, 4, 5, 6, 9[/tex3]
Portanto, as possíveis terminações de [tex3]y^{2} - 1[/tex3] , seriam:
[tex3]9, 0, 3, 4, 5, 8[/tex3]
Analisemos, então, essas possibilidades:
[tex3]3*2^{x} = ___9\rightarrow[/tex3] Não seria possível, pois o produto só será ímpar para x=0.
[tex3]3*2^{x} = ___0\rightarrow[/tex3] Também não, pois teria quer múltiplo de 10, ou seja, teria que ter fator primo 5.
[tex3]3*2^{x} = ___3\rightarrow[/tex3] Única possibilidade é ser x=0; senão produto será par[tex3]3*2^{0} = 3*1 = 3[/tex3]
[tex3]3*2^{x} = ___4\rightarrow[/tex3] Única possibilidade é ser x=3 [tex3]\rightarrow 3*2^{3} = 3*8 = 24[/tex3]
[tex3]3*2^{x} = ___5\rightarrow[/tex3] Não seria possível, pois seria um número divisível por 5, exigindo a presença do fator 5.
[tex3]3*2^{x} = ___8\rightarrow[/tex3] Única possibilidade é ser x=4 [tex3]\rightarrow 3*2^{4} = 3*16 = 48[/tex3]
Assim, as soluções possíveis seriam as mesmas três, com x=0,3,4 e y=2,5,7 formando os pares:
[tex3](x,y) = (0,2) ou (3,5) ou (4,7)[/tex3]
Um abraço.
Última edição: Ivo213 (Sex 30 Mar, 2012 19:30). Total de 1 vez.
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Mar 2012
31
00:45
Re: Inteiros
theblackmamba escreveu:Determine todos pares de inteirostais que .
Olá Theblackmamba! Acho que encontrei outra solução alternativa:
Calculemos
No caso em que é ímpar, significa que um dos fatores ou é divisível por uma potência de e o outro fator é divisível somente por Isso significa que podemos escrever um dos fatores como e o outro como com ambos ímpares. Colocando na equação:
, como eles não podem ser pares, isso implica
Como e são inteiros, temos as seguintes possibilidades:
Para temos:
Um dos fatores é e o outro é . Se como temos que Impossível.
Se como , impossível.
Se um dos fatores será e o outro Como
Se
Para
Um dos fatores é e o outro é Como que não tem solução.
Para
Um dos fatores é e outro é
Se como Impossível.
Se Impossível.
Se
Se
Para
Um dos fatores é e o outro é Daí temos que
impossível.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Para par, é ímpar, de modo que também é ímpar, logo, Daí decorre que
De acordo com as contas os pares seriam:
Resposta
Então fica a dica Theblackmamba, como já viu, o MDC é uma ferramenta muito poderosa em problemas sobre inteiros. O MMC também pode ajudar, junto com os critérios de divisibilidade.
Última edição: Cássio (Sáb 31 Mar, 2012 00:45). Total de 1 vez.
"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman
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