Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Fatoriais Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

O expoente da maior potência de [tex3]13[/tex3]

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[tex3]13[/tex3]

que é divisor de [tex3]200![/tex3]

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[tex3]200![/tex3]

é:

a) 15
b) 16
c) 2
d) 13
e) 10

[Thales Gheós]

Penso que seja assim:

[tex3]200! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots\cdot 199\cdot 200[/tex3]

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[tex3]200! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots\cdot 199\cdot 200[/tex3]

nesse produto 13 aparecerá nos seus múltiplos:

[tex3]1\cdot 13\cdot 2\cdot 13\cdot 3\cdot 13 \ldots = 13^n\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot n[/tex3]

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[tex3]1\cdot 13\cdot 2\cdot 13\cdot 3\cdot 13 \ldots = 13^n\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot n[/tex3]

o menor é obviamente [tex3]13[/tex3]

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[tex3]13[/tex3]

e o maior é [tex3]15\cdot 13=195,[/tex3]

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[tex3]15\cdot 13=195,[/tex3]

então [tex3]n=15[/tex3]

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[tex3]n=15[/tex3]

[caju]

Olá Thales,

O início da solução você acertou, mas no final você fugiu do enunciado.

O exercício pede a maior potência e não o maior múltiplo de 13 que podemos dividir o 200!.

Para achar esta resposta, devemos descobrir quantos fatores de 200! possuem o fator 13 em sua decomposição.

Veja que teremos 15 múltiplos de 13 no fatorial 200!. São eles:

13, 26, 39, 52, ... , 156, 169, 182, 195

Mas não quer dizer que a resposta é 15, pois temos o 169, que é 13². Ou seja, fatorando a seqüência acima:

[tex3]13,\hspace{4}2\cdot 13,\hspace{4}3\cdot 13,\hspace{4}4\cdot 13,\hspace{4}5\cdot 13,\hspace{4}...\hspace{4},\hspace{4}12\cdot 13,\hspace{4}13\cdot 13,\hspace{4}14\cdot 13,\hspace{4}15\cdot 13[/tex3]

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[tex3]13,\hspace{4}2\cdot 13,\hspace{4}3\cdot 13,\hspace{4}4\cdot 13,\hspace{4}5\cdot 13,\hspace{4}...\hspace{4},\hspace{4}12\cdot 13,\hspace{4}13\cdot 13,\hspace{4}14\cdot 13,\hspace{4}15\cdot 13[/tex3]

Cada múltiplo de 13 irá contribuir com um fator 13, mas o 169 irá contribuir com dois. Portanto, podemos ter 16 fatores 13 dividindo o 200!. Ou seja,

[tex3]\frac{200!}{13^{16}}[/tex3]

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[tex3]\frac{200!}{13^{16}}[/tex3]

ainda é um número inteiro.

O maior expoente de [tex3]13^n[/tex3]

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[tex3]13^n[/tex3]

é 16.

Atenciosamente
Prof. Caju
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