A soma dos termos de uma PG finita é [tex3]728[/tex3]
termo dessa seqüência.
Bom gente, eu tô com um pouco de duvida em relação a seqüencias e etc.
Em alguns problemas eu não consigo raciocinar direito
;T
Se alguém puder demonstrar como é a resolução desse ficaria grata
. Sabendo que [tex3]a_n=486[/tex3]
e [tex3]q=3[/tex3]
, calcule o primeiroEnsino Médio ⇒ Progressão Geométrica: Soma dos n Primeiros Termos
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09
17:36
Progressão Geométrica: Soma dos n Primeiros Termos
Última edição: InGriD™ (Ter 09 Out, 2007 17:36). Total de 1 vez.
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Out 2007
09
20:21
Re: Progressão Geométrica: Soma dos n Primeiros Termos
Alguém sabe de onde vem a fórmula da soma da PG?
Aprendi Hoje!
[tex3]S_n = a_1+a_2+a_3 +. . . +a_n[/tex3]
[tex3]S_n = a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2 +. . . +a_1\cdot q^{n-1}[/tex3]
podemos então multiplicar os dois lados por q
[tex3]q \cdot S_n = q\cdot a_1+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3 +. . . +a_1\cdot q^{n}[/tex3]
fazendo-se a diferença desas duas equações temos
[tex3]S_n\cdot q - S_n = (\cdot a_1+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3 +. . . +a_1\cdot q^{n}) - a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2 +. . . +a_1\cdot q^{n-1} = a_1\cdot q^n-a_1[/tex3]
colocanco-se o [tex3]S_n[/tex3] em evidência à esquerda:
[tex3]S_n(q-1) = a_1\cdot (q^n-1)[/tex3]
então:
[tex3]S_n = \frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}[/tex3]
ele nos diz que a razão é 3, e a soma é 728, e nos diz o último termo
[tex3]728 = \frac{a_1\cdot 3^n-a_1}{3-1}[/tex3]
Muito difícil esse problema.
[tex3]a_1(3^n-1)=1456[/tex3]
[tex3]a_1=\frac{1456}{(3^n-1)}[/tex3]
o jeito é fatorar o 1456, todos os divisores que forem múltiplos de um antecessor de uma potência de trez serve como solução para [tex3]3^n-1[/tex3]
por tentativas descobri que é 2
mas calcular está difícil
AHHHH
[tex3]\frac{1456}{3^n-1}[/tex3] é inteiro, pois o termo final e a razão são inteiros.
[tex3]{1456} = a({3^n-1})[/tex3] então
[tex3]1456+a = a3^n[/tex3]
a é positivo pois a razão é positiva e o último termo tambem
então devemos encontra um inteiro tal que
[tex3]1456+a[/tex3] seja múltiplo de a e ao mesmo tempo múltiplo de [tex3]3^n[/tex3]
[tex3]1456+a = a3^n[/tex3]
no caso 1458 é [tex3]2\cdot 3^6[/tex3] e simultaneamente 1456+2.
mas como se descobre isso eu ainda não sei!
Aprendi Hoje!
[tex3]S_n = a_1+a_2+a_3 +. . . +a_n[/tex3]
[tex3]S_n = a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2 +. . . +a_1\cdot q^{n-1}[/tex3]
podemos então multiplicar os dois lados por q
[tex3]q \cdot S_n = q\cdot a_1+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3 +. . . +a_1\cdot q^{n}[/tex3]
fazendo-se a diferença desas duas equações temos
[tex3]S_n\cdot q - S_n = (\cdot a_1+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3 +. . . +a_1\cdot q^{n}) - a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2 +. . . +a_1\cdot q^{n-1} = a_1\cdot q^n-a_1[/tex3]
colocanco-se o [tex3]S_n[/tex3] em evidência à esquerda:
[tex3]S_n(q-1) = a_1\cdot (q^n-1)[/tex3]
então:
[tex3]S_n = \frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}[/tex3]
ele nos diz que a razão é 3, e a soma é 728, e nos diz o último termo
[tex3]728 = \frac{a_1\cdot 3^n-a_1}{3-1}[/tex3]
Muito difícil esse problema.
[tex3]a_1(3^n-1)=1456[/tex3]
[tex3]a_1=\frac{1456}{(3^n-1)}[/tex3]
o jeito é fatorar o 1456, todos os divisores que forem múltiplos de um antecessor de uma potência de trez serve como solução para [tex3]3^n-1[/tex3]
por tentativas descobri que é 2
mas calcular está difícil
AHHHH
[tex3]\frac{1456}{3^n-1}[/tex3] é inteiro, pois o termo final e a razão são inteiros.
[tex3]{1456} = a({3^n-1})[/tex3] então
[tex3]1456+a = a3^n[/tex3]
a é positivo pois a razão é positiva e o último termo tambem
então devemos encontra um inteiro tal que
[tex3]1456+a[/tex3] seja múltiplo de a e ao mesmo tempo múltiplo de [tex3]3^n[/tex3]
[tex3]1456+a = a3^n[/tex3]
no caso 1458 é [tex3]2\cdot 3^6[/tex3] e simultaneamente 1456+2.
mas como se descobre isso eu ainda não sei!
Última edição: Alexandre_SC (Ter 09 Out, 2007 20:21). Total de 1 vez.
Se você não pode ajudar, atrapalhe, porque o importante é participar!
Out 2007
17
12:48
Re: Progressão Geométrica: Soma dos n Primeiros Termos
Vixee
Complicado
;T
Vo te que entender ainda
^^'
Muito obrigada
o//
Complicado
;T
Vo te que entender ainda
^^'
Muito obrigada
o//
Última edição: InGriD™ (Qua 17 Out, 2007 12:48). Total de 1 vez.
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Out 2007
17
18:54
Re: Progressão Geométrica: Soma dos n Primeiros Termos
Quando se menciona [tex3]a_n\,=\,486[/tex3]
Usando as fórmulas teríamos
[tex3]a_n\,=\,a_1\,\cdot\,q^{n\,-\,1}[/tex3]
[tex3]486\,=\,a_1\,\cdot\,3^{n\,-\,1}[/tex3]
[tex3]2\,\cdot\,3^5\,=\,a_1\,\cdot\,3^{n\,-\,1}[/tex3]
[tex3]a_1\,=\,\frac{2\,\cdot\,3^5}{3^{n\,-\,1}}[/tex3]
[tex3]a_1\,=\,2\,\cdot\,3^{6\,-\,n}\,\,\,[/tex3] (I)
Temos também que
[tex3]S\,=\,\frac{a_1\,\cdot\,(q^n\,-\,1)}{q\,-\,1}[/tex3]
[tex3]728\,=\,\frac{2\,\cdot\,3^{6\,-\,n}\,\cdot\,(3^n\,-\,1)}{3\,-\,1}[/tex3]
[tex3]728\,=\,3^{6\,-\,n}\,\cdot\,(3^n\,-\,1)[/tex3]
[tex3]728\,=\,3^6\,-\,3^{6\,-\,n}[/tex3]
[tex3]728\,=\,729\,-\,3^{6\,-\,n}[/tex3]
[tex3]3^{6\,-\,n}\,=\,1[/tex3]
[tex3]3^{6\,-\,n}\,=\,3^0[/tex3]
[tex3]6\,-\,n\,=\,0[/tex3]
[tex3]n\,=\,6[/tex3]
Basta substituirmos o resultado em (I) para obtermos [tex3]a_1\,=\,2[/tex3]
, entenda que 486 é o último termo. Uma forma seria dividir por 3 para obtermos o termo anterior, repetindo o processo até que a soma desses resulte em 728.Usando as fórmulas teríamos
[tex3]a_n\,=\,a_1\,\cdot\,q^{n\,-\,1}[/tex3]
[tex3]486\,=\,a_1\,\cdot\,3^{n\,-\,1}[/tex3]
[tex3]2\,\cdot\,3^5\,=\,a_1\,\cdot\,3^{n\,-\,1}[/tex3]
[tex3]a_1\,=\,\frac{2\,\cdot\,3^5}{3^{n\,-\,1}}[/tex3]
[tex3]a_1\,=\,2\,\cdot\,3^{6\,-\,n}\,\,\,[/tex3] (I)
Temos também que
[tex3]S\,=\,\frac{a_1\,\cdot\,(q^n\,-\,1)}{q\,-\,1}[/tex3]
[tex3]728\,=\,\frac{2\,\cdot\,3^{6\,-\,n}\,\cdot\,(3^n\,-\,1)}{3\,-\,1}[/tex3]
[tex3]728\,=\,3^{6\,-\,n}\,\cdot\,(3^n\,-\,1)[/tex3]
[tex3]728\,=\,3^6\,-\,3^{6\,-\,n}[/tex3]
[tex3]728\,=\,729\,-\,3^{6\,-\,n}[/tex3]
[tex3]3^{6\,-\,n}\,=\,1[/tex3]
[tex3]3^{6\,-\,n}\,=\,3^0[/tex3]
[tex3]6\,-\,n\,=\,0[/tex3]
[tex3]n\,=\,6[/tex3]
Basta substituirmos o resultado em (I) para obtermos [tex3]a_1\,=\,2[/tex3]
Última edição: edu_landim (Qua 17 Out, 2007 18:54). Total de 1 vez.
Deus escreve Matemática, mas poucos conseguem entender o mundo.
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