Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica: Perímetro Mínimo de um Triângulo Tópico resolvido

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jose carlos de almeida
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Geometria Analítica: Perímetro Mínimo de um Triângulo

Mensagem não lidapor jose carlos de almeida » Sex 17 Nov, 2006 10:34

Mensagem não lida por jose carlos de almeida »

São dados os pontos [tex3]A(3,1),[/tex3] [tex3]B[/tex3] pertencente ao eixo das abscissas e [tex3]C[/tex3] pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares. Se o perímetro do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é o menor possível, ele vale:

a) [tex3]2\sqrt{5}[/tex3]
b) [tex3]2\sqrt{10}[/tex3]
c) [tex3]5\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]4[/tex3]
e) [tex3]3\sqrt{2}[/tex3]
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JOSE CARLOS
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Dexter
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Re: Geometria Analítica: Perímetro Mínimo de um Triângulo

Mensagem não lidapor Dexter » Sáb 18 Nov, 2006 17:15

Mensagem não lida por Dexter »

Olá Jose,

O problema maior dessa questão é que com os dados do enunciado você achará o perímetro do triângulo em função de duas incógnitas (Para isso, basta fazer [tex3]A(3,1),[/tex3] [tex3]B(x_b,0) ,[/tex3] [tex3]C(x_c,x_c)[/tex3] e usar distância entre pontos). Pode ser que realmente esteja faltando algum dado no enunciado ou algo do tipo.

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caju
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Re: Geometria Analítica: Perímetro Mínimo de um Triângulo

Mensagem não lidapor caju » Dom 19 Nov, 2006 17:34

Mensagem não lida por caju »

Olá José,

Realmente, se resolvermos algebricamente a questão, recairemos em uma equação de duas incógnitas e não conseguiremos achar valores extremos.

Devemos fazer de uma outra maneira. Utilizando a técnica do rebatimento.

Vou resolver de duas maneiras. A primeira é mais rapidinha, e a segunda é mais demorada. Vamos à primeira.

Para utilizar esta técnica devemos apenas rebater o triângulo em relação ao eixo [tex3]x[/tex3] e ao eixo [tex3]y,[/tex3] chegando ao seguinte desenho:
G1.png
G1.png (24.07 KiB) Exibido 4079 vezes
Como estamos trabalhando com rebatimentos, temos vários segmentos com mesmo comprimento neste desenho. São eles:
  • [tex3]BC=B''C=B'C'[/tex3]
    [tex3]BA=AB'=A''B''[/tex3]
    [tex3]AC'=AC=A''C[/tex3]
Portanto, o perímetro do triângulo [tex3]ABC,[/tex3] que é [tex3]AB+BC+AC[/tex3] pode ser rescrito como sendo [tex3]B'A+AC+CB''.[/tex3]

A poligonal [tex3]B'ACB''[/tex3] (que possui comprimento igual ao perímetro do triângulo [tex3]ABC[/tex3] ) terá comprimento mínimo quando [tex3]A=C=\text{origem},[/tex3] ou seja, quando [tex3]B', A, C[/tex3] e [tex3]B''[/tex3] forem colineares.

Mas daí você pode estar pensando "mas isso não pode ser, não tem triângulo ali, se [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são o mesmo ponto a gente tem só um segmento de reta".

Realmente, não há um triângulo, há um triângulo degenerado num segmento de reta. Portanto, o que podemos dizer é o limite do perímetro do triângulo, e não seu perímetro em si.

Como vimos anteriormente a poligonal terá o comprimento do perímetro. Calcularemos por pitágoras este comprimento:
  • [tex3]\text{perímetro}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}[/tex3]
Esta é uma resolução. Poderíamos ter pensado separadamente. Vou fazer uma outra resolução. Mas se você gostou da de cima, não precisa acompanhar esta nova.
__________________________________________________________

Vamos então pensar por partes. Começaremos com os triângulos vermelho e amarelo.

Veja que o comprimento do lado [tex3]BC[/tex3] mais o comprimento do lado [tex3]CA[/tex3] é igual ao comprimento do lado [tex3]B''C[/tex3] mais o comprimento do lado [tex3]CA.[/tex3]

Veja também que estes dois lados terão a menor soma possível quando [tex3]B'' C[/tex3] e [tex3]A[/tex3] forem colineares. Aí que resolvemos a questão.

Fazendo os três pontos colineares, temos:
G2.png
G2.png (15.75 KiB) Exibido 4079 vezes
Deixei somente os traços que nos interessam nesta figura.

Note que os triângulos [tex3]AOC[/tex3] e [tex3]APB''[/tex3] são semelhantes. Sendo os pontos [tex3]A(0, y_a)[/tex3] e [tex3]C(x_c, 0)[/tex3] , fazemos a semelhança:
  • [tex3]\frac{PB''}{OC}=\frac{PA}{OA}[/tex3]

    [tex3]\frac{3}{x_c}=\frac{1+y_a}{y_a}[/tex3]

    [tex3]3y_a=x_c+x_cy_a[/tex3]
Esta é a nossa primeira equação. Pensaremos agora no triângulo cinza:
G3.png
G3.png (24.08 KiB) Exibido 4079 vezes
Mesmo raciocínio. Para [tex3]BA+AC[/tex3] ser o menor possível, podemos pensar em [tex3]BA+AC'.[/tex3] Este último só será mínimo se [tex3]B, A[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] forem colineares.
G4.png
G4.png (16.73 KiB) Exibido 4077 vezes
Novamente temos uma semelhença de triângulos, entre os triângulos [tex3]C'OA[/tex3] e [tex3]C'QB.[/tex3] Aplicando a semelhança:
  • [tex3]\frac{C'Q}{QB}=\frac{C'O}{OA}[/tex3]

    [tex3]\frac{x_c+3}{1}=\frac{x_c}{y_a}[/tex3]

    [tex3]y_ax_c+3y_a=x_c[/tex3]
Agora, com esta e a primeira equação temos um sistema de equações:
  • [tex3]\begin{cases}y_ax_c+3y_a=x_c\\3y_a=x_c+x_cy_a\end{cases}[/tex3]
Somando as duas equações:
  • [tex3]y_ax_c+3y_c+3y_a=x_c+x_c+x_cy_a[/tex3]

    [tex3]x_c=3y_a[/tex3]
Agora substituímos esta igualdade em qualquer uma das equações do sistema. Substituindo na primeira:
  • [tex3]y_a\cdot 3y_a+3y_a=3y_a[/tex3]
[tex3]y_a=0[/tex3] e, ao substituir em [tex3]x_c=3y_a[/tex3] encontramos [tex3]x_c=0[/tex3] também.

Portanto, o menor triângulo é quando [tex3]A(0,0)[/tex3] e [tex3]C(0,0).[/tex3]

Podemos calcular o comprimento do segmento [tex3]AB[/tex3] utilizando pitágoras:
  • [tex3](AB)^2=1^2+3^2[/tex3]

    [tex3]AB=\sqrt{10}[/tex3]
[tex3]CB[/tex3] tem o mesmo comprimento [tex3]AB=\sqrt{10}[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] tem comprimento [tex3]0.[/tex3] Portanto o perímetro é [tex3]2\sqrt{10}.[/tex3]

Somente uma crítica que deixo a este exercício é que ele ficaria muito mais compreensível se no enunciado estivesse escrito "Se o perímetro do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é o menor possível, ele vale aproximadamente".

Atenciosamente
Prof. Caju
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