Ensino Médio ⇒ Equação Irracional ou Racional ??

[poti]

[tex3]x = \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}[/tex3]

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[tex3]x = \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}[/tex3]

é racional ou irracional ? Justifique.

[FilipeCaceres]

Fazendo [tex3]x =\underbrace {\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}_A + \underbrace {\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}}_B[/tex3]

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[tex3]x =\underbrace {\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}_A + \underbrace {\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}}_B[/tex3]

Sabendo que:[tex3](A+B)^3=A^3+B^3+3.AB(A+B)[/tex3]

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[tex3](A+B)^3=A^3+B^3+3.AB(A+B)[/tex3]

Assim temos:[tex3]x^3=(2-\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})+3.AB(x)[/tex3]

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[tex3]x^3=(2-\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})+3.AB(x)[/tex3]

[tex3]AB=\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1}=-1[/tex3]

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[tex3]AB=\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1}=-1[/tex3]

Logo: [tex3]x^3=(2-\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})+3.(-1)(x)[/tex3]

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[tex3]x^3=(2-\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})+3.(-1)(x)[/tex3]

Reescrevendo:[tex3]x^3+3x+4=0[/tex3]

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[tex3]x^3+3x+4=0[/tex3]

Que tem como raiz
[tex3]x_1=-1[/tex3]

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[tex3]x_1=-1[/tex3]

[tex3]x_2=\frac{1+i\sqrt{15}}{2}[/tex3]

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[tex3]x_2=\frac{1+i\sqrt{15}}{2}[/tex3]

[tex3]x_2=\frac{1-i\sqrt{15}}{2}[/tex3]

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[tex3]x_2=\frac{1-i\sqrt{15}}{2}[/tex3]

Portanto a equação é racional.

Espero ter ajudado.