Ensino Médio

12 Mar 2011, 14:46

Um círculo de diâmetro igual a 2 cm está inscrito num triângulo retângulo cuja hipotenusa vale 8 cm. Determinar o perímetro do triângulo retângulo.

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19 Mar 2011, 10:01

Hola.

Faça o desenho para melhor visualizar.

: figu..GIF (6.23 KiB) Exibido 382 vezes

Do desenho pegamos o triângulo retângulo ABC, e aplicamos o Teorema de Pitágoras, assim:
lembre-se de que a hipotenusa [tex3]BC = x + y = 18(I)[/tex3] , então:

[tex3](BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2\\
(x+y)^2 = (x+r)^2 + (y+r)^2\\
x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 2xr + r^2 + y^2 + 2yr + r^2\\
2xy = 2xr +1 + 2yr +1\\
2xy = 2x + 2y + 2 (:2)\\
xy = x + y + 1, como:x+y=8\\
xy=8+1\\
xy=9(II)[/tex3] \\, resolvendo o sistema (I) e (II), encontramos:

[tex3]x + y = 8\\
xy=9[/tex3]

[tex3]y = 8-x\\
x*(8-x) = 9\\
-x^2+8x=9\\
-x^2+8x-9=0[/tex3] , multiplique tudo por -1 e aplique Baskara.

[tex3]x'=4+\sqrt{7}e\\
x''=4-\sqrt{7}[/tex3]

[tex3]x+y=8\\
y' = 8-x\\
y'=8-(4+\sqrt{7})\\
y'=4-\sqrt{7}e\\
y''=8-(4-\sqrt{7})\\
y''=4+\sqrt{7}[/tex3]

Olhando os lados do triângulo ABC notamos que x é maior do que y em comprimento, entâo:

[tex3]Perímetro = AB + AC + BC\\
Perímetro = x+r + r+y + x+ y\\
Perímetro= 4+\sqrt{7}+1+1 +4-\sqrt{7}+8\\
Perímetro= 4+1+1+4+8\\
Perímetro=18cm[/tex3]

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