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[tex3]4\cdot (24\sqrt{3}-11\pi) \text{ cm}^2[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Polígonos Regulares
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rean 
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11
12:58
Geometria Plana: Polígonos Regulares
Calcule a área hachurada, sabendo que o apótema de cada um dos triângulos eqüiláteros inscritos nas circunferências menores mede [tex3]1\text{cm}.[/tex3]
[tex3]4\cdot (24\sqrt{3}-11\pi) \text{ cm}^2[/tex3]
[tex3]4\cdot (24\sqrt{3}-11\pi) \text{ cm}^2[/tex3]
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adrianotavares
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Set 2008
12
20:54
Re: Geometria Plana: Polígonos Regulares
Olá, Rean.
[tex3]a =\frac{r}{2}[/tex3]
[tex3]1 = \frac{r}{2}[/tex3]
[tex3]r = 2[/tex3]
Cálculo da altura do triângulo equilátero maior:
[tex3]r= \frac{h}{3}[/tex3]
[tex3]2 = \frac{h}{3}[/tex3]
[tex3]h = 6[/tex3]
Cálculo do lado do triângulo equilátero maior:
[tex3]h = \frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]6 = \frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]12 = l\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]l = 4\sqrt{3}[/tex3]
Cálculo da área hachurada.
[tex3]A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} - \pi r^2[/tex3]
[tex3]A = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} - 4 \pi[/tex3]
[tex3]A =12\sqrt{3} - 4 \pi[/tex3]
Como está dividido em três partes temos:
[tex3]A =\frac{ 12\sqrt{3} - 4 \pi}{3}[/tex3]
Calculamos apenas 1 parte hachurada, como são seis teremos:
[tex3]A_t =(\frac{ 12\sqrt{3} - 4 \pi}{3}).6[/tex3]
[tex3]A_t = 24\sqrt{3} - 8 \pi[/tex3]
Repare que o lado do hexágono, é igual ao lado do triângulo que já haviamos calculado.
Como um hexágono é formado por seis triângulos equiláteros, conclui-se que o raio da circunferência é igual a altura desse triângulo.
Cálculo do raio da circunferência circunscrita no triângulo equilátero.
[tex3]h = R[/tex3]
[tex3]R = \frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]R = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]R = 6[/tex3]
Cálculo da área hachurada do hexágono.
[tex3]A_1 = (\frac{l^2\sqrt{3}}{4}).6 - \pi R^2[/tex3]
[tex3]A_1 = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}.6 - 36 \pi[/tex3]
[tex3]A_1 = 72\sqrt{3} - 36 \pi[/tex3]
A área total hachurada é:
[tex3]A_T = A + A_1[/tex3]
[tex3]A_T = 24\sqrt{3} - 8 \pi + 72\sqrt{3} - 36 \pi[/tex3]
[tex3]A_T = 96\sqrt{3} - 44 \pi[/tex3]
[tex3]A_T = 4.(24\sqrt{3} - 11 \pi)[/tex3]
- Triângulo.GIF (2.01 KiB) Exibido 1108 vezes
[tex3]1 = \frac{r}{2}[/tex3]
[tex3]r = 2[/tex3]
Cálculo da altura do triângulo equilátero maior:
[tex3]r= \frac{h}{3}[/tex3]
[tex3]2 = \frac{h}{3}[/tex3]
[tex3]h = 6[/tex3]
Cálculo do lado do triângulo equilátero maior:
[tex3]h = \frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]6 = \frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]12 = l\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]l = 4\sqrt{3}[/tex3]
Cálculo da área hachurada.
[tex3]A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} - \pi r^2[/tex3]
[tex3]A = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} - 4 \pi[/tex3]
[tex3]A =12\sqrt{3} - 4 \pi[/tex3]
Como está dividido em três partes temos:
[tex3]A =\frac{ 12\sqrt{3} - 4 \pi}{3}[/tex3]
Calculamos apenas 1 parte hachurada, como são seis teremos:
[tex3]A_t =(\frac{ 12\sqrt{3} - 4 \pi}{3}).6[/tex3]
[tex3]A_t = 24\sqrt{3} - 8 \pi[/tex3]
Repare que o lado do hexágono, é igual ao lado do triângulo que já haviamos calculado.
Como um hexágono é formado por seis triângulos equiláteros, conclui-se que o raio da circunferência é igual a altura desse triângulo.
Cálculo do raio da circunferência circunscrita no triângulo equilátero.
[tex3]h = R[/tex3]
[tex3]R = \frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]R = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]R = 6[/tex3]
Cálculo da área hachurada do hexágono.
[tex3]A_1 = (\frac{l^2\sqrt{3}}{4}).6 - \pi R^2[/tex3]
[tex3]A_1 = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}.6 - 36 \pi[/tex3]
[tex3]A_1 = 72\sqrt{3} - 36 \pi[/tex3]
A área total hachurada é:
[tex3]A_T = A + A_1[/tex3]
[tex3]A_T = 24\sqrt{3} - 8 \pi + 72\sqrt{3} - 36 \pi[/tex3]
[tex3]A_T = 96\sqrt{3} - 44 \pi[/tex3]
[tex3]A_T = 4.(24\sqrt{3} - 11 \pi)[/tex3]
Última edição: adrianotavares (Sex 12 Set, 2008 20:54). Total de 1 vez.
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