Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Cone e Hemisfério Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Tem-se um hemisfério inscrito num cone equilátero de [tex3]6\text{m}[/tex3]

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[tex3]6\text{m}[/tex3]

de raio da base. O centro do hemisfério coincide com o centro da base do cone. A área total do hemisfério mede:

a) [tex3]72\pi\text{m}^2[/tex3]

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[tex3]72\pi\text{m}^2[/tex3]

b) [tex3]64\pi\text{m}^2[/tex3]

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[tex3]64\pi\text{m}^2[/tex3]

c) [tex3]45\pi\text{m}^2[/tex3]

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[tex3]45\pi\text{m}^2[/tex3]

d) [tex3]81\pi\text{m}^2[/tex3]

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[tex3]81\pi\text{m}^2[/tex3]

e) [tex3]54\pi\text{m}^2[/tex3]

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[tex3]54\pi\text{m}^2[/tex3]

[caju]

Olá José,

Cone equilátero é aquele que possui a geratriz igual ao diâmetro da base.
Hemisfério é a mesma coisa que semi-esfera.

Fazendo uma secção pela altura do cone, temos a seguinte figura:



Com os pontos marcados no desenho, podemos ver que

AD=6
AC=12

Calculamos o segmento CD (altura do triângulo equilátero ABC)

[tex3]\overline{CD}=\frac{12\sqrt 3}{2}=6\sqrt 3[/tex3]

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[tex3]\overline{CD}=\frac{12\sqrt 3}{2}=6\sqrt 3[/tex3]

DE é o raio do hemisfério. Para calculá-lo devemos aplicar a fórmula vista em "Relações métricas no triângulo retângulo" que é a que vem das duas formas de se calcula a área do triângulo.
Se multiplicarmos os dois catetos e dividir por dois, temos a área. Mas, se multiplicarmos a hipotenusa pela altura DE e dividir por dois também temos a área, ou seja:

[tex3]\frac{\overline{AD}\cdot\overline{DC}}{2}=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{DE}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\overline{AD}\cdot\overline{DC}}{2}=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{DE}}{2}[/tex3]

Substituindo os valores:


[tex3]6\cdot 6\sqrt 3=12\cdot\overline{DE}[/tex3]

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[tex3]6\cdot 6\sqrt 3=12\cdot\overline{DE}[/tex3]

[tex3]\overline{DE}=3\sqrt 3[/tex3]

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[tex3]\overline{DE}=3\sqrt 3[/tex3]

Agora que temos o raio do hemisfério podemos calcular sua área. A área do hemisfério é metade da área da esfera de mesmo raio mais a área do círculo da base:

Área Total = [tex3]\frac{4\pi(3\sqrt 3)^2}{2}+\pi(3\sqrt 3)^2[/tex3]

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[tex3]\frac{4\pi(3\sqrt 3)^2}{2}+\pi(3\sqrt 3)^2[/tex3]

Área Total = [tex3]81\pi\hspace{3}m^2[/tex3]

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[tex3]81\pi\hspace{3}m^2[/tex3]

Atenciosamente
Prof. Caju
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