Essa questão eu consegui fazer mas foi de uma maneira meio trabalhosa hehe
Queria saber se alguém saberia resolver? Se a solução for igual a minha eu me conformo ehehe
Se P(x) denota um polinômio de grau n tal que:
[tex3]P(k)=\frac{k}{k+1}[/tex3]
, para [tex3]k=0,1,2,3,...,n[/tex3]
, calcule o valor de P(n+1).
Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido
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Alexandre_SC 
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24
21:48
Re: Polinômios
[tex3]p(n+1) = \frac{n+1}{n+2}[/tex3]
e então você encontrou o polinômio?
mande aí para nós vermos, deve ser interessante, eu já li alguma coisa sobre séries mas nunca entendi nada!
e então você encontrou o polinômio?
mande aí para nós vermos, deve ser interessante, eu já li alguma coisa sobre séries mas nunca entendi nada!
Última edição: Alexandre_SC (Ter 24 Jul, 2007 21:48). Total de 1 vez.
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marco_sx
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25
15:36
Re: Polinômios
Olá Alexandre!
Então, por enquanto não vou postar a minha solução para não influenciar na solução de quem quiser tentar resolvê-la.
Há resposta para n par e para n ímpar.
Então, por enquanto não vou postar a minha solução para não influenciar na solução de quem quiser tentar resolvê-la.
Há resposta para n par e para n ímpar.
Última edição: marco_sx (Qua 25 Jul, 2007 15:36). Total de 1 vez.
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marco_sx
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Jul 2007
30
16:56
Re: Polinômios
Hoje tive a infelicidade de descobrir que minha solução estava errada 
Acabei forçando a barra pra aparecer o resultado e cheguei nele, mas a resolução estava errada. Vou tentar corrigir. Mas por favor se alguém souber resolver poste a solução.
Acabei forçando a barra pra aparecer o resultado e cheguei nele, mas a resolução estava errada. Vou tentar corrigir. Mas por favor se alguém souber resolver poste a solução.
Última edição: marco_sx (Seg 30 Jul, 2007 16:56). Total de 1 vez.
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caju
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01
13:39
Re: Polinômios
Olá a todos,
Vou tentar mostrar minha resolução rapidamente pois não tenho muito tempo agora...se aparecer dúvidas, postem aqui que hoje a noite terei um pouco mais de tempo...
Começamos trabalhando com a expressão de P(k):
[tex3]P(k)=\frac{k}{1+k}\longrightarrow (k+1)P(k)=k\longrightarrow (k+1)P(k)-k=0[/tex3]
Vamos então criar um polinômio auxiliar Q(x)
[tex3]Q(x)=(x+1)P(x)-x[/tex3]
O primeiro valor a calcular é [tex3]Q(-1)=(-1+1)P(-1)-(-1)\rightarrow Q(-1)=1[/tex3]
Guardamos este valor para uso futuro.
Note que, para os valores x=0, 1, 2, 3, 4, ... , n podemos calcular Q(k):
[tex3]Q(k)=(k+1)P(k)-k\longrightarrow Q(k)=(k+1)\cdot \frac{k}{1+k}-k\longrightarrow Q(k)=0[/tex3]
Ou seja, temos que o polinômio Q(k) tem raízes 0, 1, 2, 3, ... , n. Isso nos indica que podemos fatorar Q(x) da seguinte maneira:
[tex3]Q(x)=a\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)\cdot\cdot\cdot(x-n)[/tex3]
E [tex3]a[/tex3] é a constante a ser definida ainda. Para calculá-la, vamos calcular Q(-1):
[tex3]Q(-1)=a\cdot(-1-1)\cdot(-1-2)\cdot(-1-3)\cdot\cdot\cdot(-1-n)[/tex3]
Para facilitar, vamos colocar o (-1) em evidência em cada fator da expressão acima:
[tex3]Q(-1)=a\cdot(-1)\cdot(1+1)\cdot(-1)\cdot(1+2)\cdot(-1)\cdot(1+3)\cdot\cdot\cdot(-1)\cdot(1+n)[/tex3]
Visualize a expressão acima e veja que teremos no total (n+1) multiplicações por (-1), ou seja, podemos agrupá-las em uma potência de (-1)
[tex3]Q(-1)=a\cdot(-1)^{n+1}\cdot(2)\cdot(3)\cdot(4)\cdot\cdot\cdot(n+1)[/tex3]
Note que apareceu um fatorial à esquerda da expressão, exatamente (n+1)!
[tex3]Q(-1)=a\cdot(-1)^{n+1}\cdot(n+1)![/tex3]
Só que Q(-1) já foi calculado, vale 1:
[tex3]1=a\cdot(-1)^{n+1}\cdot(n+1)![/tex3]
[tex3]a=\frac{1}{(-1)^{n+1}\cdot(n+1)!}[/tex3]
Guardamos este valor para uso futuro.
Utilizando a fatoração de [tex3]Q(x)[/tex3] , vamos calcular [tex3]Q(n+1)[/tex3] .
[tex3]Q(n+1)=a(n+1)(n)(n-1)(n-2)...(1)[/tex3]
Note que apareceu um fatorial à esquerda novamente:
[tex3]Q(n+1)=a(n+1)![/tex3]
Substituindo o valor de a calculado anteriormente:
[tex3]Q(n+1)=\frac{1}{(-1)^{n+1}\cdot(n+1)!}\cdot(n+1)![/tex3]
[tex3]Q(n+1)=\frac{1}{(-1)^{n+1}}[/tex3]
Como o resultado desta expressão é sempre +1 ou -1, tanto faz o [tex3](-1)^{n+1}[/tex3] estar no denominador ou no numerador. Para facilitar as contas a partir daqui, vamos dizer que ele se encontra no numerador. Ou seja:
[tex3]Q(n+1)=(-1)^{n+1}[/tex3]
Este é o valor que nos levará à resposta. Voltamos para uma expressão inicial [tex3]Q(x)=(x+1)P(x)-x[/tex3] que nos dá:
[tex3]Q(n+1)=(n+2)P(n+1)-(n+1)[/tex3]
Substituímos o valor de Q(n+1) calculado três linhas acima:
[tex3](-1)^{n+1}=(n+2)P(n+1)-(n+1)[/tex3]
E agora isolamos [tex3]P(n+1)[/tex3] :
[tex3]\Large P(n+1)=\frac{(-1)^{n+1}+(n+1)}{n+2}[/tex3]
Que mostra o que o marco_sx havia dito, há uma resposta para n par e n ímpar.
n par: [tex3]P(n+1)=\frac{n}{n+2}[/tex3]
n ímpar: [tex3]P(n+1)=\frac{n+2}{n+2}=1[/tex3]
Vou tentar mostrar minha resolução rapidamente pois não tenho muito tempo agora...se aparecer dúvidas, postem aqui que hoje a noite terei um pouco mais de tempo...
Começamos trabalhando com a expressão de P(k):
[tex3]P(k)=\frac{k}{1+k}\longrightarrow (k+1)P(k)=k\longrightarrow (k+1)P(k)-k=0[/tex3]
Vamos então criar um polinômio auxiliar Q(x)
[tex3]Q(x)=(x+1)P(x)-x[/tex3]
O primeiro valor a calcular é [tex3]Q(-1)=(-1+1)P(-1)-(-1)\rightarrow Q(-1)=1[/tex3]
Guardamos este valor para uso futuro.
Note que, para os valores x=0, 1, 2, 3, 4, ... , n podemos calcular Q(k):
[tex3]Q(k)=(k+1)P(k)-k\longrightarrow Q(k)=(k+1)\cdot \frac{k}{1+k}-k\longrightarrow Q(k)=0[/tex3]
Ou seja, temos que o polinômio Q(k) tem raízes 0, 1, 2, 3, ... , n. Isso nos indica que podemos fatorar Q(x) da seguinte maneira:
[tex3]Q(x)=a\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)\cdot\cdot\cdot(x-n)[/tex3]
E [tex3]a[/tex3] é a constante a ser definida ainda. Para calculá-la, vamos calcular Q(-1):
[tex3]Q(-1)=a\cdot(-1-1)\cdot(-1-2)\cdot(-1-3)\cdot\cdot\cdot(-1-n)[/tex3]
Para facilitar, vamos colocar o (-1) em evidência em cada fator da expressão acima:
[tex3]Q(-1)=a\cdot(-1)\cdot(1+1)\cdot(-1)\cdot(1+2)\cdot(-1)\cdot(1+3)\cdot\cdot\cdot(-1)\cdot(1+n)[/tex3]
Visualize a expressão acima e veja que teremos no total (n+1) multiplicações por (-1), ou seja, podemos agrupá-las em uma potência de (-1)
[tex3]Q(-1)=a\cdot(-1)^{n+1}\cdot(2)\cdot(3)\cdot(4)\cdot\cdot\cdot(n+1)[/tex3]
Note que apareceu um fatorial à esquerda da expressão, exatamente (n+1)!
[tex3]Q(-1)=a\cdot(-1)^{n+1}\cdot(n+1)![/tex3]
Só que Q(-1) já foi calculado, vale 1:
[tex3]1=a\cdot(-1)^{n+1}\cdot(n+1)![/tex3]
[tex3]a=\frac{1}{(-1)^{n+1}\cdot(n+1)!}[/tex3]
Guardamos este valor para uso futuro.
Utilizando a fatoração de [tex3]Q(x)[/tex3] , vamos calcular [tex3]Q(n+1)[/tex3] .
[tex3]Q(n+1)=a(n+1)(n)(n-1)(n-2)...(1)[/tex3]
Note que apareceu um fatorial à esquerda novamente:
[tex3]Q(n+1)=a(n+1)![/tex3]
Substituindo o valor de a calculado anteriormente:
[tex3]Q(n+1)=\frac{1}{(-1)^{n+1}\cdot(n+1)!}\cdot(n+1)![/tex3]
[tex3]Q(n+1)=\frac{1}{(-1)^{n+1}}[/tex3]
Como o resultado desta expressão é sempre +1 ou -1, tanto faz o [tex3](-1)^{n+1}[/tex3] estar no denominador ou no numerador. Para facilitar as contas a partir daqui, vamos dizer que ele se encontra no numerador. Ou seja:
[tex3]Q(n+1)=(-1)^{n+1}[/tex3]
Este é o valor que nos levará à resposta. Voltamos para uma expressão inicial [tex3]Q(x)=(x+1)P(x)-x[/tex3] que nos dá:
[tex3]Q(n+1)=(n+2)P(n+1)-(n+1)[/tex3]
Substituímos o valor de Q(n+1) calculado três linhas acima:
[tex3](-1)^{n+1}=(n+2)P(n+1)-(n+1)[/tex3]
E agora isolamos [tex3]P(n+1)[/tex3] :
[tex3]\Large P(n+1)=\frac{(-1)^{n+1}+(n+1)}{n+2}[/tex3]
Que mostra o que o marco_sx havia dito, há uma resposta para n par e n ímpar.
n par: [tex3]P(n+1)=\frac{n}{n+2}[/tex3]
n ímpar: [tex3]P(n+1)=\frac{n+2}{n+2}=1[/tex3]
Última edição: caju (Qua 01 Ago, 2007 13:39). Total de 2 vezes.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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marco_sx
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Ago 2007
01
21:40
Re: Polinômios
Nossa.... Que besteira que eu fiz...
Muito obrigado pela solução prof. Caju.
Fiz exatamente como você fez, usando um polinômio auxiliar. Porém, logo no começo da minha resolução cometi um erro que prejudicou a minha solução. Quando finalmente eu corrigi acabei me enrrolando para achar o coeficiente a.
Deu para entender sim.
Mais uma vez agradeço.
Muito obrigado pela solução prof. Caju.
Fiz exatamente como você fez, usando um polinômio auxiliar. Porém, logo no começo da minha resolução cometi um erro que prejudicou a minha solução. Quando finalmente eu corrigi acabei me enrrolando para achar o coeficiente a.
Deu para entender sim.
Mais uma vez agradeço.
Última edição: marco_sx (Qua 01 Ago, 2007 21:40). Total de 1 vez.
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