Ensino Médio ⇒ Sistema com logaritmos Tópico resolvido

[Felipe22]

{log₁₂x.(log₂x+log₂y=log₂x
{log₂x.log₃(x+y)=3.log₃x

Gab: {(6,2) , (2,6)}

[petras]

Felipe22,

[tex3]\mathsf{
Eq(1):log_{12}x.log_2(xy)=log_2x \therefore log_{12}x=\frac{log_2x}{log_2(xy)}\\
log_2(xy) \neq 0 \therefore xy \neq 1(*)\\
\frac{log_2x}{log_212}=\frac{log_2x}{log_2(xy)}\implies log_2x = 0 \implies \cancel{ x=1}(De*)\\
\vee log_2(12)=log_2(xy) \therefore xy = 12 \implies y = \frac{12}{x}(I) \\

Eq(2):log_2x = \frac{3log_3x}{log_3(x+y)}=\frac{log_3x^3}{log_3(x+y) }=\frac{\frac{log_2x^3}{log_23}} {\frac{log_2(x+y)}{log_23}}\\
\cancel{log_2x }= \frac{log_2x^3}{log_2(x+y)}= \frac{3\cancel{log_2x}}{log_2(x+\frac{12}{x}) }\\
log_2(x+\frac{12}{x}) = 3 \implies x+\frac{12}{x} = 8 \implies x^2+12-8x = 0\\
\boxed{\therefore x = 2 \implies (I): y = 6 \vee
x = 6 \implies (I) y = 2}











}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
Eq(1):log_{12}x.log_2(xy)=log_2x \therefore log_{12}x=\frac{log_2x}{log_2(xy)}\\
log_2(xy) \neq 0 \therefore xy \neq 1(*)\\
\frac{log_2x}{log_212}=\frac{log_2x}{log_2(xy)}\implies log_2x = 0 \implies \cancel{ x=1}(De*)\\
\vee log_2(12)=log_2(xy) \therefore xy = 12 \implies y = \frac{12}{x}(I) \\

Eq(2):log_2x = \frac{3log_3x}{log_3(x+y)}=\frac{log_3x^3}{log_3(x+y) }=\frac{\frac{log_2x^3}{log_23}} {\frac{log_2(x+y)}{log_23}}\\
\cancel{log_2x }= \frac{log_2x^3}{log_2(x+y)}= \frac{3\cancel{log_2x}}{log_2(x+\frac{12}{x}) }\\
log_2(x+\frac{12}{x}) = 3 \implies x+\frac{12}{x} = 8 \implies x^2+12-8x = 0\\
\boxed{\therefore x = 2 \implies (I): y = 6 \vee
x = 6 \implies (I) y = 2}











}
[/tex3]

[Felipe22]

Boa noite Petras!
Mas por que log₂x = 0 , na eq. 1 ?
Não consegui " enxergar"

[petras]

Felipe22,

Por que se log₂x = 0 teremos 0 nos denominadores e assim 0 = 0 e para log₂x = 0 , x = 1 e portanto será uma raiz

[Felipe22]

Perfeito!
mais uma vez te agradeço.