Ensino Médio ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[02rr]

Em um triângulo ABC, Â=60. Tomamos um ponto P no interior do triângulo, tal que os ângulos APB=BPC=CPA. Sabendo que PB = 12 e PC = 27, calcule AP:

Resposta

---

18

***Se possível, poderiam deixar uma imagem da figura? Agradeço desde já!

[FelipeMartin]

P é o ponto de Fermat do triângulo ABC https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_Fermat

deve ter uma fórmula pra PA+PB+PC.

No pior caso, você tem o lado BC através da lei dos cossenos no triângulo PBC. Dai talvez dê pra finalizar com alguma outra lei dos cossenos.

[petras]

02rr,

[tex3] \angle APB \cong \angle BPC \cong \angle CPA = \alpha\implies \alpha = 120^0 \\
\angle PAB = \theta \implies \angle PBA = 60-\theta\\
\triangle PAC:\angle PAC = 60^o-\theta \implies \angle ACP = \theta\\
\therefore \triangle ACP \sim\triangle BAP \implies \frac{CP}{AP} =\frac{AB}{BP}\\
\frac{27}{AP} = \frac{AP}{12}\implies AP^2 = 324 \therefore \boxed{AP = 18} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \angle APB \cong \angle BPC \cong \angle CPA = \alpha\implies \alpha = 120^0 \\
\angle PAB = \theta \implies \angle PBA = 60-\theta\\
\triangle PAC:\angle PAC = 60^o-\theta \implies \angle ACP = \theta\\
\therefore \triangle ACP \sim\triangle BAP \implies \frac{CP}{AP} =\frac{AB}{BP}\\
\frac{27}{AP} = \frac{AP}{12}\implies AP^2 = 324 \therefore \boxed{AP = 18} [/tex3]

[02rr]

02rr,

[tex3] \angle APB \cong \angle BPC \cong \angle CPA = \alpha\implies \alpha = 120^0 \\
\angle PAB = \theta \implies \angle PBA = 60-\theta\\
\triangle PAC:\angle PAC = 60^o-\theta \implies \angle ACP = \theta\\
\therefore \triangle ACP \sim\triangle BAP \implies \frac{CP}{AP} =\frac{AB}{BP}\\
\frac{27}{AP} = \frac{AP}{12}\implies AP^2 = 324 \therefore \boxed{AP = 18} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \angle APB \cong \angle BPC \cong \angle CPA = \alpha\implies \alpha = 120^0 \\
\angle PAB = \theta \implies \angle PBA = 60-\theta\\
\triangle PAC:\angle PAC = 60^o-\theta \implies \angle ACP = \theta\\
\therefore \triangle ACP \sim\triangle BAP \implies \frac{CP}{AP} =\frac{AB}{BP}\\
\frac{27}{AP} = \frac{AP}{12}\implies AP^2 = 324 \therefore \boxed{AP = 18} [/tex3]

VALEU!