Ensino Médio ⇒ Circunferência Tópico resolvido

[AngelitaB]

Dasi o gráfico, calcular R se: DI=IL=LO.

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a)4
b)5
c)6
d)7
e)8

Resposta

---

a

[GiovanaMSP]

Se houver dúvidas, avise.

Sejam A e B os pontos opostos, respectivamente, aos pontos D e O.

Sejam [tex3]DI=IL=LO=x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DI=IL=LO=x[/tex3]

e [tex3]IA=LB=y[/tex3]

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[tex3]IA=LB=y[/tex3]

.

Pelo Teorema do Quadrilátero Circunscritível: [tex3]IL+AB=IA+LB\to 3x +x =y+y\ \therefore\ y=2x\ (i)[/tex3]

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[tex3]IL+AB=IA+LB\to 3x +x =y+y\ \therefore\ y=2x\ (i)[/tex3]

.

Pelo Teorema de Pitágoras: [tex3]LA^2=LO^2+OB^2\to y^2=x^2+12^2\ (ii)[/tex3]

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[tex3]LA^2=LO^2+OB^2\to y^2=x^2+12^2\ (ii)[/tex3]

. De [tex3](i)[/tex3]

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[tex3](i)[/tex3]

e [tex3](ii)[/tex3]

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[tex3](ii)[/tex3]

infere-se que [tex3](x,y)=\left(4\sqrt{3},8\sqrt{3}\right)[/tex3]

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[tex3](x,y)=\left(4\sqrt{3},8\sqrt{3}\right)[/tex3]

.

Há outras formas de finalizar o problema a partir daqui. Vou fazer por trigonometria, mas da para fazer por semelhança de triângulos também (Clique aqui).

[tex3]cos(\theta)=\frac{LO}{LB}=\frac{x}{y}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\ \therefore\ \theta =arccos\left(\frac{1}{2}\right)\ \therefore\ \theta = 60^\circ[/tex3]

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[tex3]cos(\theta)=\frac{LO}{LB}=\frac{x}{y}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\ \therefore\ \theta =arccos\left(\frac{1}{2}\right)\ \therefore\ \theta = 60^\circ[/tex3]

Seja P o ponto que descreve o centro da circunferência. O segmento LP é bissetriz do ângulo [tex3]\widehat{BLO}=\theta[/tex3]

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[tex3]\widehat{BLO}=\theta[/tex3]

, tal que [tex3]\widehat{BLP}=\widehat{OLP}=\frac{\theta}{2}[/tex3]

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[tex3]\widehat{BLP}=\widehat{OLP}=\frac{\theta}{2}[/tex3]

.

[tex3]tan\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{OP}{LO}\to R=xtan\left(\frac{\theta }{2}\right)\to R=4\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\ \therefore\ \boxed{R=4}[/tex3]

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[tex3]tan\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{OP}{LO}\to R=xtan\left(\frac{\theta }{2}\right)\to R=4\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\ \therefore\ \boxed{R=4}[/tex3]

[geobson]

Sem trigonometria:…………..,,,,,,,