Ensino Médio ⇒ Questão 315 Equação Logarítma - Iezzi Tópico resolvido

[samcinati09]

Log 2 (x+y) - log3 (x-y) = 1
x²-y² = 2
Gabarito = 3/2 e 1/2
resolvi dessa forma e quero saber se fiz certo (apesar de já saber do resultado, quis ver se havia sentido)
x²=2-y², x= raiz de 2 - y
log 2 (raiz de 2 -y + y) - log 3 (raiz de 2 - y - y) = 1
log 2 raiz de 2 = 1/2
1/2 - log 3 raiz de 2 -2y = 1
log 3 raiz de 2 - 2y = 1/2
3 elevado a 1/2 = raiz de 3
raiz de 2 - 2y = raiz de 3
2-4y²=3
-4y²= 1
y²=1/4, y =1/2
x²-1/4=2, x = 3/2, pois 9/4 - 1/4 = 8/4 = 2
OBS: sobre o sinal, por ser raiz de 2, poderia ser tanto positiva quanto negativa, mas como é log, e log não envolve negativos, teria q ser 1/2, não -1/2

[petras]

samcinati09,
Não está correto

[tex3]x^2-y^2=2\implies x^2 = 2-y^2 \therefore x = \pm\sqrt{2-y^2} \neq \cancel{\sqrt{2}-y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-y^2=2\implies x^2 = 2-y^2 \therefore x = \pm\sqrt{2-y^2} \neq \cancel{\sqrt{2}-y}[/tex3]

[petras]

Aplique log₂ na equação inferior, encontre o valor de log₂ (x+y) e substitua na equação de cima e depois faça mudança de base

Se não conseguir e ainda não tiver solução posto mais tarde

[samcinati09]

apliquei, mas acabou caindo nisso:
log 2 (x²-y²) = 2 = log 2 (x+y) + log 2 (x-y) = 2
log 2 (x+Y) = 2-log 2 (x-y) obs: tambei tentei fazer 2/log 2 (x-y) e não foi
em cima ficou - 2-log 2 x-y - log 3 x-y, invertendo = 2-log 2 x-y - 1/log x-y 3, invertendo.. 1/2-logx-y 2 - 1/log x-y 3 = 1
tentei ir pela divisão de logs de mesma base... log x-y 2/3 = 1-2, 1/x-y = 2/3, x-y = 3/2 (só que isso é incopativel com gabarito, já que seria 3/2-1/2 = 2/2 = 1, ent x-y = 1, só que 1 a 1 = 1, não 3/2, e 1 não pode ficar na base, então não poderia fazer isso (trocar a base? ou não deveria dividir os logaritmandos?)
Minhas maiores dúvidas são: oq fazer quando tiver uma soma ou subtração em log?? posso passar pro outro lado? e se houver mesma base e logaritmando diferentes, eu ''crio'' outra base, divido ou tento colocar variavel (mesmo que se for logx-y 2= t, como fica o outro log?)

[petras]

samcinati09,

Não existe receita pronta.Cada caso é um caso.
O básico é deixar sempre na mesma base para que se possa fazer as transformações
Não há problemas em passar para o outro lado



[tex3] \mathsf{log_2(x^2-y^2)=log_22 \implies log_2[(x-y)(x+y)] = 1\\
log_2(x+y)+log_2(x-y)=1 \implies log_2(x+y) = 1-log_2(x-y)\\
Substituindo: 1-log_2(x-y)-log_3(x-y)=1 \implies log_2(x-y)=-log_3(x-y)\\
log_2(x-y)=log_3(x-y)^{-1}=log_3\frac{1}{(x-y)}\\
log_2(x-y) = \frac{log_2(\frac{1}{x-y})}{log_23} \implies log_2(x-y).log_23 = 0-log_2(x-y)\\
log_2(x-y).log_23+log_2(x-y) = 0 \implies log_2(x-y)[log_23+1]=0\\
\therefore log_2(x-y) = 0 \implies \underbrace{x-y =1}(I) \\
log_23+1 = 0\implies log_23 = -1 \implies \cancel{3 = \frac{1}{2}}\\
De:x^2-y^2=2 \implies \underbrace{(x-y)}_1(x+y) = 2 \therefore x+y=2(II)\\
De(I)e(II): \boxed{x=\frac{3}{2} \wedge y = \frac{1}{2} }






}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \mathsf{log_2(x^2-y^2)=log_22 \implies log_2[(x-y)(x+y)] = 1\\
log_2(x+y)+log_2(x-y)=1 \implies log_2(x+y) = 1-log_2(x-y)\\
Substituindo: 1-log_2(x-y)-log_3(x-y)=1 \implies log_2(x-y)=-log_3(x-y)\\
log_2(x-y)=log_3(x-y)^{-1}=log_3\frac{1}{(x-y)}\\
log_2(x-y) = \frac{log_2(\frac{1}{x-y})}{log_23} \implies log_2(x-y).log_23 = 0-log_2(x-y)\\
log_2(x-y).log_23+log_2(x-y) = 0 \implies log_2(x-y)[log_23+1]=0\\
\therefore log_2(x-y) = 0 \implies \underbrace{x-y =1}(I) \\
log_23+1 = 0\implies log_23 = -1 \implies \cancel{3 = \frac{1}{2}}\\
De:x^2-y^2=2 \implies \underbrace{(x-y)}_1(x+y) = 2 \therefore x+y=2(II)\\
De(I)e(II): \boxed{x=\frac{3}{2} \wedge y = \frac{1}{2} }






}[/tex3]

[samcinati09]

Muito obrigado Petras (novamente), agora posso dormir a noite tranquilo ksks. Só fiquei confuso em duas coisas: você usou o [ para indicar que seria multiplicação ou pra separar cada log(resolver 1 a 1 individualmente ou outra coisa?) e que podia passar pra fração e multiplicar log depois, essa não sabia. Meu erro foi não ter pensado em colocar log e quando coloquei, esqueci de colocar na outra parte e essa que não sabia desse ''truque''.

[petras]

samcinati09,

O colchete foi apenas para separar o fator colocado em evidência..poderia ser parênteses
A colocação do log tem o mesmo sentido quando você eleva ao quadrado os dois lados da equação, ou tira a raiz dos dois lados...
O que vc faz de um lado precisa fazer do outro para que a equação não se altere.

a/b = c é o mesmo que a = bc (multiplicação cruzada é básico)

[samcinati09]

entendi, valeu muito pela ajuda Petras!