Ensino Médio ⇒ Equação Logaritma - Iezzi Questão 306 d) Tópico resolvido

[samcinati09]

log x/2 x² - 14 . log 16x x³ + 40 . log 4x raiz quadrada de x = 0
Gabarito: 1, 1/raiz quadrada de 2 e 4
essa é paulera, plmds.

[petras]

samcinati09,
O processo é o mesmo, mudança de base e aplicar propriedades básicas
C.E. x > 0
[tex3]\mathsf{ log_{\frac {x}{2}}(x^2) - 14 . log_{16x} (x^3) + 40. log_{4x} x^{\frac{1}{2}} = 0\\
2.\frac{log_xx}{log_x\frac{x}{2}}-42.\frac{log_xx}{log_x(2^4.x)}+20.\frac{log_xx}{log_x(2^2.x)}=0\\
\frac{2}{1-log_x2}-\frac{42}{4log_x2+1}+\frac{20}{2log_x2+1}=0
\\log_x2 = k\\
\frac{2}{1-k}-\frac{42}{4k+1}+\frac{20}{2k+1}=0\\
\therefore 2k^2+3k-2=0\\
k = \frac{1}{2} \implies log_x2=\frac{1}{2} \implies x^{\frac{1}{2}}=2\therefore \boxed{x=4} \\
k = -2 \implies log_x2=-2 \implies x^{-2}=2 \implies \frac{1}{x^2} = 2 \therefore \cancel{x= -\frac{1}{\sqrt2}} (< 0) \vee\boxed{x =\frac{1}{\sqrt2}}

}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{ log_{\frac {x}{2}}(x^2) - 14 . log_{16x} (x^3) + 40. log_{4x} x^{\frac{1}{2}} = 0\\
2.\frac{log_xx}{log_x\frac{x}{2}}-42.\frac{log_xx}{log_x(2^4.x)}+20.\frac{log_xx}{log_x(2^2.x)}=0\\
\frac{2}{1-log_x2}-\frac{42}{4log_x2+1}+\frac{20}{2log_x2+1}=0
\\log_x2 = k\\
\frac{2}{1-k}-\frac{42}{4k+1}+\frac{20}{2k+1}=0\\
\therefore 2k^2+3k-2=0\\
k = \frac{1}{2} \implies log_x2=\frac{1}{2} \implies x^{\frac{1}{2}}=2\therefore \boxed{x=4} \\
k = -2 \implies log_x2=-2 \implies x^{-2}=2 \implies \frac{1}{x^2} = 2 \therefore \cancel{x= -\frac{1}{\sqrt2}} (< 0) \vee\boxed{x =\frac{1}{\sqrt2}}

}[/tex3]

Como encontramos a variável em todos os logaritmandos e a equação é igualada a 0 e sabendo que log 1 = 0 podemos constatar que 1 também será solução da equação.

[samcinati09]

2/1-k - 42/4k+1 + 20/2k+1
2k^2+3k-2=0\\
Petras, vc usou MMC né? Mas como, pq estou fazendo aqui e a variavel cai em cubo.

[petras]

samcinati09,

o m.m.c = [tex3](1-k)(4k+1)(2k+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1-k)(4k+1)(2k+1)[/tex3]

Quando você for dividir pelo denominador de uma fração só restará os dois fatores restantes para a multiplicação que resultará em k^2 e não em cubo

[samcinati09]

estou fazendo, e tá ficando assim: 2 (4l+1) (2l+1) - 42(1-l) (2l+1) + 20 (1-l) (4l+1) só que fica indo em: 2 (8l² +6l + 1) - 42 (-2l² +l + 1) + 20 (-4l² + 3l + 1). onde que estou errando?

[petras]

samcinati09,
Onde está o cubo que vc mencionou?

[samcinati09]

vc falou pra anular quando tiver o denominador igual (se tem 1-l embaixo, anulo e so multiplico os outros dois, é isso que entendi, ent o cubo some), ent ele não vai multiplicar no numerador, correto? Só que essa conta não ta batendo msm assim, não sei se é na parte algebrica ou coisa do genero.

[petras]

samcinati09,

Exatamente

[tex3]\frac{2}{1-k}-\frac{42}{4k+1}+\frac{20}{2k+1}=0\\
2(4k+1)(2k+1) - 42(1-k)(2k+1)+20(1-k)(4k+1)=0\\
16k^2+12k+2-42(k+1-2k^2)+20(3k+1-4k^2)=0
\\16k^2+12k+2-42k-42+84k^2+60k+20-80k^2=0\\
20k^2+30k-20k = 0 \implies 2k^2+3k-2 = 0

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{1-k}-\frac{42}{4k+1}+\frac{20}{2k+1}=0\\
2(4k+1)(2k+1) - 42(1-k)(2k+1)+20(1-k)(4k+1)=0\\
16k^2+12k+2-42(k+1-2k^2)+20(3k+1-4k^2)=0
\\16k^2+12k+2-42k-42+84k^2+60k+20-80k^2=0\\
20k^2+30k-20k = 0 \implies 2k^2+3k-2 = 0

[/tex3]

[samcinati09]

Grato pela sua paciência, Petras! Agora entendi tudo!