Ensino MédioBinômio Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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ALDRIN
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Abr 2024 02 12:51

Binômio

Mensagem não lida por ALDRIN »

Verdadeiro ou falso?

Podemos dizer que, acerca da expansão binomial de [tex3](3x + 5)^{13}[/tex3] o menor coeficiente é [tex3]3^{13}[/tex3] .



"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

Hoefer, H., 80.

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petras
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Re: Binômio

Mensagem não lida por petras »

ALDRIN,

[tex3]T_1-T_2-T_3-T_4-T_5-T_6-T_7-T_8-T_9-T_{!0}-T_{11}-T_{12}-T_{13}-T_{14}
\\T_{p+1} =\binom{13}{p}.(3x)^{13-p}.5^p\\
T_{p+2} =\binom{13}{p+1}.(3x)^{13-(p+1)}.5^{p+1}\\
T_{p+1} < T_{p+2}(I) \implies \frac{\cancel{13!}}{p!(13-p)!}(3)^{13-p}.5^p < \frac{\cancel{13!}}{(p+1)!(12-p)!}.(3)^{12-p}.5^{p+1}\\
\frac{1}{\cancel{p!}(13-p)\cancel{(12-p)!}}\frac{(3)^\cancel{{13}}}{\cancel{3^p}}.\cancel{5^p} < \frac{1}{(p+1).\cancel{p!}\cancel{(12-p)!}}.\frac{(\cancel{3)^{12}}}{\cancel{3^p}}.\cancel{5^p}.5^1\\
\therefore 3(p+1) < 5(13-p) \implies p < 7,75 (p \in Z) \therefore p < 7 \\
De(I): T_8 < T_9 \implies T_1 < T_2 < T_3 < T_4 < T_5 < T_6 < T_7 < T_8 < T_9 > T_{10} > T_{11} > T_{12} > T_{13} > T_{14} \\
Menor: T_1 \vee T_{14}\\
T_1 \implies p=0 \implies \boxed{3^{13}}.x^{13}.5\\
T_{14} \implies p = 13 \implies (3x)^0.\boxed{5^{13}} \\
\therefore \boxed{Menor=5^{13} :V}

[/tex3]
(Solução:RômuloGarcia)

Última edição: petras (Ter 02 Abr, 2024 19:04). Total de 4 vezes.



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