Ensino Médio ⇒ logaritmo Tópico resolvido

[Felipe22]

(UFCE) - Considere a função f: (0, [tex3]\infty [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\infty [/tex3]

) [tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

R, f(x) = log (base 3) x

Determine os valores de a [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

R para os quais f( a^2 - a + 1) < 1

gab: 1 < a < 2

[ProfLaplace]

Ele quer que resolvamos a inequação [tex3]\log_3{(a^{2}-a+1)}<1[/tex3]

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[tex3]\log_3{(a^{2}-a+1)}<1[/tex3]

.
Primeiramente vamos verificar a condição de existência, que diz que o logaritmando tem que ser sempre positivo: [tex3]a^{2}-a+1>0[/tex3]

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[tex3]a^{2}-a+1>0[/tex3]

.
Mas considerando [tex3]y(a)=a^{2}-a+1[/tex3]

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[tex3]y(a)=a^{2}-a+1[/tex3]

, temos [tex3]\Delta=1-4=-3[/tex3]

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[tex3]\Delta=1-4=-3[/tex3]

. Logo essa função é sempre positiva, pois não tem raízes e sua concavidade é para cima. Assim, o logaritmo existe para qualquer valor de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

(não há restrições para o valor de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

).

Vamos resolver a inequação de fato agora:
[tex3]\log_3{(a^{2}-a+1)}<1 \Rightarrow \log_3{(a^{2}-a+1)}<\log_3{3} \Rightarrow a^{2}-a+1<3 \Rightarrow a^{2}-a-2<0[/tex3]

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[tex3]\log_3{(a^{2}-a+1)}<1 \Rightarrow \log_3{(a^{2}-a+1)}<\log_3{3} \Rightarrow a^{2}-a+1<3 \Rightarrow a^{2}-a-2<0[/tex3]

.
Chamando [tex3]h(a)=a^{2}-a-2[/tex3]

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[tex3]h(a)=a^{2}-a-2[/tex3]

, temos [tex3]\Delta=1-4\cdot(-2)=9[/tex3]

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[tex3]\Delta=1-4\cdot(-2)=9[/tex3]

.
Então as raízes dessa função serão:
[tex3]a=\frac{1\pm 3}{2} \Rightarrow a=2 \ \ \text{ou} \ \ a=-1[/tex3]

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[tex3]a=\frac{1\pm 3}{2} \Rightarrow a=2 \ \ \text{ou} \ \ a=-1[/tex3]

.
Como a parábola tem concavidade para cima, a solução da inequação será [tex3]-1<a<2[/tex3]

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[tex3]-1<a<2[/tex3]

.

Creio que seu gabarito esteja errado. O Wolfram fornece o mesmo resultado que eu, caso queira ver:
https://www.wolframalpha.com/input?i=lo ... 2B1%29%3C1

[Felipe22]

Muito obrigado professor!