Ensino Médio ⇒ logaritmo Tópico resolvido

[Felipe22]

(UFRJ) - Considere:
a = log(x - 1/x) e b = log(x + 1/x - 1) com x > 1
Determine log( x^2 - x + 1/x - 1/x^2) em função de a e b.

Gab: a + b

[petras]

Felipe22,

[tex3]log( x^2 - x +\frac{1}{x} -\frac{ 1}{x^2})=log(\frac{x^4-x^3+x-1}{x^2})=\\
\boxed{log(x^4+x-x^3-1)-logx^2}(I)\\

a = log(x-\frac{1}{x})=log(\frac{x^2-1}{x}) = log(x^2-1)-logx\\
b = log(x+\frac{1}{x} - 1)=log(\frac{x^2+1-x}{x})=log(x^2+1-x)-logx\\
a+b = log(x^2-1)-logx+log(x^2+1-x)-logx \implies\\
log[(x^2-1)(x^2+1-x)]-2logx \implies \boxed{log(x^4-x^3-1+x)-logx^2}(II)\\
\therefore (I)=(II)




[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log( x^2 - x +\frac{1}{x} -\frac{ 1}{x^2})=log(\frac{x^4-x^3+x-1}{x^2})=\\
\boxed{log(x^4+x-x^3-1)-logx^2}(I)\\

a = log(x-\frac{1}{x})=log(\frac{x^2-1}{x}) = log(x^2-1)-logx\\
b = log(x+\frac{1}{x} - 1)=log(\frac{x^2+1-x}{x})=log(x^2+1-x)-logx\\
a+b = log(x^2-1)-logx+log(x^2+1-x)-logx \implies\\
log[(x^2-1)(x^2+1-x)]-2logx \implies \boxed{log(x^4-x^3-1+x)-logx^2}(II)\\
\therefore (I)=(II)




[/tex3]

[Felipe22]

Boa tarde Petras!
Por que vc somou a + b ?
o gabarito é esse.
Perdoe-me a pergunta.

[petras]

Felipe22,

Partindo da equação principal:

[tex3]{log(x^4+x-x^3-1)-logx^2} = log(x^3(x-1)+x-1)-2logx=\\
log((x-1)(x^3+1))-2logx \implies log[(x-1)(x+1)(x^2+1-x)] -2logx\implies\\
log[(x^2-1)(x^2+1-x)] -2logx\implies log(x^2-1)+ log(x^2+1-x)-2log x \implies\\
\underbrace{log(x^2-1)-logx}_a + \underbrace{log(x^2+1-x)-log x}_b\\
\therefore a+b



[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{log(x^4+x-x^3-1)-logx^2} = log(x^3(x-1)+x-1)-2logx=\\
log((x-1)(x^3+1))-2logx \implies log[(x-1)(x+1)(x^2+1-x)] -2logx\implies\\
log[(x^2-1)(x^2+1-x)] -2logx\implies log(x^2-1)+ log(x^2+1-x)-2log x \implies\\
\underbrace{log(x^2-1)-logx}_a + \underbrace{log(x^2+1-x)-log x}_b\\
\therefore a+b



[/tex3]

[Felipe22]

Ok! Perfeito!
Mais uma vez te agradeço.
Fique com Deus!