f(a)f(b)= f(a+b) para todos os a e b, determine quais das opções
abaixo são verdadeiras:
I. 𝑓(0) = 1
II. 𝑓(−𝑎) =1/𝑓(𝑎), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎
III. 𝑓(𝑎) = ^3√𝑓(3𝑎) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎( a raiz esta no f e no (3a))
IV. 𝑓(𝑏) > 𝑓(𝑎) 𝑠𝑒 𝑏 > 𝑎 .
Resposta
I, II, III
Ensino Médio ⇒ funções Tópico resolvido
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gabrielmacc
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Mar 2024
16
19:33
funções
14. Suponha que f(x) é definida nos reais x e f(x)>0 para todo x. Se
f(a)f(b)= f(a+b) para todos os a e b, determine quais das opções
abaixo são verdadeiras:
I. 𝑓(0) = 1
II. 𝑓(−𝑎) =1/𝑓(𝑎), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎
III. 𝑓(𝑎) = ^3√𝑓(3𝑎) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎( a raiz esta no f e no (3a))
IV. 𝑓(𝑏) > 𝑓(𝑎) 𝑠𝑒 𝑏 > 𝑎 .
I, II, III
estou tendo mt dificuldade com esse tipo de questão pq n estou sabendo como avançar
f(a)f(b)= f(a+b) para todos os a e b, determine quais das opções
abaixo são verdadeiras:
I. 𝑓(0) = 1
II. 𝑓(−𝑎) =1/𝑓(𝑎), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎
III. 𝑓(𝑎) = ^3√𝑓(3𝑎) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎( a raiz esta no f e no (3a))
IV. 𝑓(𝑏) > 𝑓(𝑎) 𝑠𝑒 𝑏 > 𝑎 .
I, II, III
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ProfLaplace
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Mar 2024
17
12:28
Re: funções
Opa, tudo bem?
O segredo é ir atribuindo valores adequados para a e b.
Na expressão [tex3]f(a)\cdot f(b)=f(a+b)[/tex3] , façamos [tex3]a=b=0[/tex3] . Assim, [tex3][f(0)]^{2}=f(0) \Rightarrow f(0)\cdot(f(0)-1)=0 \Rightarrow f(0)=0 \ \text{ou}\ f(0)=1[/tex3] . Como ele disse que [tex3]f(x)>0[/tex3] para todo x real, temos obrigatoriamente que [tex3]f(0)=1[/tex3] . Portanto I é verdadeira.
Para a segunda afirmação, faça [tex3]b=-a[/tex3] na condição dada. Assim, [tex3]f(a)\cdot f(-a)=f(a-a)=f(0)=1[/tex3] . Como [tex3]f(a)\neq 0[/tex3] , podemos passar ele dividindo para obter [tex3]f(-a)=\frac{1}{f(a)}[/tex3] e por isso II também é verdadeira.
Agora façamos [tex3]b=a[/tex3] na condição inicial, para obter [tex3][f(a)]^{2}=f(2a)[/tex3] . Faça agora [tex3]b=2a[/tex3] novamente na condição inicial. Com isso, teremos [tex3]f(a)\cdot f(2a)=f(a+2a)=f(3a)[/tex3] . Mas sabemos que [tex3][f(a)]^{2}=f(2a)[/tex3] , então podemos substituir isso na equação anterior para chegar que [tex3]f(a)\cdot [f(a)]^{2}=f(3a) \Rightarrow [f(a)]^{3}=f(3a) \Rightarrow f(a)= \sqrt[3]{f(3a)}[/tex3] . Logo III também é verdadeira.
Vejamos por fim a IV, que é um pouco diferente das anteriores. Caso não tenha notado, todas as propriedades anteriores são bastante semelhantes às propriedades das funções exponenciais (isso não é por acaso, na verdade). Podemos provar que IV é falsa usando essa ideia. A afirmação IV diz que a função f é estritamente crescente, mas se você fizer uma comparação, irá lembrar que nem toda função exponencial é estritamente crescente.
Ou seja, podemos tomar por exemplo a função [tex3]f(x)=(0,5)^{x}[/tex3] . Essa função verifica as hipóteses do enunciado, pois ela é sempre positiva e também vale que [tex3]f(a)\cdot f(b)=f(a+b)[/tex3] , mas ela não é estritamente crescente! Isso mostra que as hipóteses do enunciado não garantem que a função f será sempre estritamente crescente como IV afirma. Logo IV é falsa.
O segredo é ir atribuindo valores adequados para a e b.
Na expressão [tex3]f(a)\cdot f(b)=f(a+b)[/tex3] , façamos [tex3]a=b=0[/tex3] . Assim, [tex3][f(0)]^{2}=f(0) \Rightarrow f(0)\cdot(f(0)-1)=0 \Rightarrow f(0)=0 \ \text{ou}\ f(0)=1[/tex3] . Como ele disse que [tex3]f(x)>0[/tex3] para todo x real, temos obrigatoriamente que [tex3]f(0)=1[/tex3] . Portanto I é verdadeira.
Para a segunda afirmação, faça [tex3]b=-a[/tex3] na condição dada. Assim, [tex3]f(a)\cdot f(-a)=f(a-a)=f(0)=1[/tex3] . Como [tex3]f(a)\neq 0[/tex3] , podemos passar ele dividindo para obter [tex3]f(-a)=\frac{1}{f(a)}[/tex3] e por isso II também é verdadeira.
Agora façamos [tex3]b=a[/tex3] na condição inicial, para obter [tex3][f(a)]^{2}=f(2a)[/tex3] . Faça agora [tex3]b=2a[/tex3] novamente na condição inicial. Com isso, teremos [tex3]f(a)\cdot f(2a)=f(a+2a)=f(3a)[/tex3] . Mas sabemos que [tex3][f(a)]^{2}=f(2a)[/tex3] , então podemos substituir isso na equação anterior para chegar que [tex3]f(a)\cdot [f(a)]^{2}=f(3a) \Rightarrow [f(a)]^{3}=f(3a) \Rightarrow f(a)= \sqrt[3]{f(3a)}[/tex3] . Logo III também é verdadeira.
Vejamos por fim a IV, que é um pouco diferente das anteriores. Caso não tenha notado, todas as propriedades anteriores são bastante semelhantes às propriedades das funções exponenciais (isso não é por acaso, na verdade). Podemos provar que IV é falsa usando essa ideia. A afirmação IV diz que a função f é estritamente crescente, mas se você fizer uma comparação, irá lembrar que nem toda função exponencial é estritamente crescente.
Ou seja, podemos tomar por exemplo a função [tex3]f(x)=(0,5)^{x}[/tex3] . Essa função verifica as hipóteses do enunciado, pois ela é sempre positiva e também vale que [tex3]f(a)\cdot f(b)=f(a+b)[/tex3] , mas ela não é estritamente crescente! Isso mostra que as hipóteses do enunciado não garantem que a função f será sempre estritamente crescente como IV afirma. Logo IV é falsa.
Editado pela última vez por ProfLaplace em 17 Mar 2024, 12:30, em um total de 2 vezes.
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gabrielmacc
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