Ensino Médio ⇒ Equação diofantina Tópico resolvido

[Babi123]

Resolver a equação diofantina [tex3]50x-56y=74[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]50x-56y=74[/tex3]

.

Minha tentativa de resolução:
Dividindo ambos os membros por [tex3]2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[/tex3]

:
[tex3]25x-28y=37[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]25x-28y=37[/tex3]

como [tex3](25,28)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](25,28)=1[/tex3]

e [tex3]1 \ | \ 37[/tex3]

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[tex3]1 \ | \ 37[/tex3]

, então a equação tem solução.

O algoritmo de Euclides nos fornece;
[tex3]\begin{cases}28= 1\cdot25+3\implies25-1\cdot3=3 \ \ (i)\\
25=8\cdot3+1\implies 25-8\cdot3=1 \ \ (ii)\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}28= 1\cdot25+3\implies25-1\cdot3=3 \ \ (i)\\
25=8\cdot3+1\implies 25-8\cdot3=1 \ \ (ii)\end{cases}[/tex3]

De [tex3](i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](i)[/tex3]

em [tex3](ii)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](ii)[/tex3]

:
[tex3]25-8\cdot(28-1\cdot25)=1\\
25\cdot9-28\cdot8=1\\
25\cdot(333)-28\cdot(296)=37[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]25-8\cdot(28-1\cdot25)=1\\
25\cdot9-28\cdot8=1\\
25\cdot(333)-28\cdot(296)=37[/tex3]

Daí, [tex3]x_0=333[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_0=333[/tex3]

e [tex3]y_0=296[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_0=296[/tex3]

é uma solução particular.

Portanto a solução geral é:
[tex3]\begin{cases}x=333+(-28)t=333-28t\\
y=296-25t\end{cases}, \ t\in\mathbb{Z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x=333+(-28)t=333-28t\\
y=296-25t\end{cases}, \ t\in\mathbb{Z}[/tex3]

Está correto isso?

[FelipeMartin]

perfeito Babi, excelente!