Ensino Médio ⇒ Incentro Tópico resolvido

[AngelitaB]

Seja O incentro do triângulo ABC e PQR. Se m < ABC+m <PQR=[tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

, calcule x+y.

IMG-20240204-WA0008.jpg (39.34 KiB) Exibido 294 vezes

a)90°+[tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

b)2[tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

c)180°-[tex3]\frac{\alpha }{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\alpha }{2}[/tex3]

d)90°-[tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

e)3[tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

Resposta

---

c

[geobson]

AngelitaB, segue solução!

[FelipeMartin]

geobson, acho que assumiste que P,O e C são alinhados

[petras]

AngelitaB, geobson,

O triângulo PQR tem que ser equilátero, já que seu incentro deve coincidir com seu circuncentro (a circunferência inscrita ao triangulo ABC tem que estar circunscrita ao triângulo PQR),
[tex3]
∠PQO=∠QPO=30^o \\
∠POQ=120^o\\
∠AOC=∠ABC+\frac{BAC+BCA}{2}\\

Mas:∠BAC+∠BCA=180^o−∠ABC \implies ∠AOC=∠ABC+\frac{180^o−\angle ABC}{2}=\frac{\angle ABC+180}{2}\\

\therefore x+y=360^o−120^o−\frac{\angle ABC+180}{2}=\frac{300−\angle ABC}{2}\\

\alpha = \angle ABC+60^o⟹\\

x+y=\frac{300^o−(α−60^o)}{2}=\boxed{180^o−\frac{\alpha}{2}}[/tex3]

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[tex3]
∠PQO=∠QPO=30^o \\
∠POQ=120^o\\
∠AOC=∠ABC+\frac{BAC+BCA}{2}\\

Mas:∠BAC+∠BCA=180^o−∠ABC \implies ∠AOC=∠ABC+\frac{180^o−\angle ABC}{2}=\frac{\angle ABC+180}{2}\\

\therefore x+y=360^o−120^o−\frac{\angle ABC+180}{2}=\frac{300−\angle ABC}{2}\\

\alpha = \angle ABC+60^o⟹\\

x+y=\frac{300^o−(α−60^o)}{2}=\boxed{180^o−\frac{\alpha}{2}}[/tex3]

(Solução:Pie)

[geobson]

O triângulo PQR tem que ser equilátero, já que seu incentro deve coincidir com seu circuncentro (a circunferência inscrita ao triangulo ABC tem que estar circunscrita ao triângulo PQR),


É isso completa minha solução , já que demonstra a colinearidade entre os pontos P, O e Q.

[petras]

AngelitaB, geobson,

Desconsiderem a solução anterior pois necessariamente o triangulo inscrito não precisa ser equilátero.

Se x+y não for equilátero não dára [tex3]180−\frac{α}{2}[/tex3]

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[tex3]180−\frac{α}{2}[/tex3]

, então a condição só é válida para qualquer triângulo se for considerado a condição abaixo.
Para que ocorra a condição com o gabarito provavelmente houve erro no enunciado e deverias ser m<ABC+m<PRQ=α

[tex3] Seja ~γ=\angle POQ : β=\angle AOC\\
(∗) x+y=360^o−γ−β\\
β=180^o−(\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle C}{2})=180^o−(\frac{180^o−\angle B}{2})=90^o+\frac{\angle B}{2}\\
γ=180^o−(\frac{\angle P}{2}+\frac{\angle Q}{2})=180^o−(\frac{180^o−\angle R}{2})=90^o+\frac{\angle R}{2}\\
Em (∗): x+y=360^o−γ−β=360^o−(90^o+\frac{\angle B}{2})−(90^o+\frac{R}{2})=180^o−\angle B+\frac{\angle R}{2}=\boxed{180^o−\frac{α}{2}}[/tex3]

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[tex3] Seja ~γ=\angle POQ : β=\angle AOC\\
(∗) x+y=360^o−γ−β\\
β=180^o−(\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle C}{2})=180^o−(\frac{180^o−\angle B}{2})=90^o+\frac{\angle B}{2}\\
γ=180^o−(\frac{\angle P}{2}+\frac{\angle Q}{2})=180^o−(\frac{180^o−\angle R}{2})=90^o+\frac{\angle R}{2}\\
Em (∗): x+y=360^o−γ−β=360^o−(90^o+\frac{\angle B}{2})−(90^o+\frac{R}{2})=180^o−\angle B+\frac{\angle R}{2}=\boxed{180^o−\frac{α}{2}}[/tex3]