Ensino Médio ⇒ Demonstração em um triângulo. Tópico resolvido

[geobson]

Na figura, mostre que :

[tex3]\frac{1}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{a}[/tex3]

+[tex3]\frac{1}{b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{b}[/tex3]

=[tex3]\frac{1}{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{c}[/tex3]

:

[FelipeMartin]

trace a bissetriz interna do ângulo [tex3]4\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\theta[/tex3]

e deixe ela cortar o lado "a" de forma a criar dois triângulos: um isósceles com dois ângulos [tex3]2\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\theta[/tex3]

e um outro semelhante ao original. Desta semelhança, tiramos:

[tex3]\frac{\frac{ab}{b+c}}{b} = \frac{b}{a} \iff a^2 = b^2 + bc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{ab}{b+c}}{b} = \frac{b}{a} \iff a^2 = b^2 + bc[/tex3]

trace a bissetriz do ângulo [tex3]2\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\theta[/tex3]

e deixe ela cortar o lado [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

criando dois triângulos: um isósceles com dois ângulos [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

e um semelhante ao original. Desta semelhança, tiramos:

[tex3]\frac{\frac{bc}{a+c}}{c} = \frac{c}{b} \iff b^2 = c^2 + ac[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{bc}{a+c}}{c} = \frac{c}{b} \iff b^2 = c^2 + ac[/tex3]

unindo as duas equações:

[tex3]a^2 = c^2 + ac + bc \iff \frac{a^2-c^2}{abc} = \frac1a + \frac 1b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2 = c^2 + ac + bc \iff \frac{a^2-c^2}{abc} = \frac1a + \frac 1b[/tex3]

só falta provar que [tex3]a^2 = c^2 + ab[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2 = c^2 + ab[/tex3]

[geobson]

FelipeMartin, consegui demonstrar que [tex3]a^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}[/tex3]

=bc + [tex3]b^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{2}[/tex3]

[FelipeMartin]

geobson, legal. Foi isso que eu quis dizer mesmo. Que bom que vc entendeu.

[petras]

geobson,
Demonstrando que [tex3]a^2-c^2=ab[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2-c^2=ab[/tex3]

Prolonga CA
[tex3] BH \perp CA \\HF = HA\\
\triangle BFA_{(isosceles)} \implies ∠BFA=∠BAF=π−4θ\\
∠FBC=π−∠BCF−∠BFA=π−θ−(π−4θ)=3θ\\
Mas~7θ=π \implies ∠BFA≅∠FBC\\
\therefore \triangle BFC_{(isosceles)} \therefore FC=a: HA=\frac{a−b}{2}\\
T.Pit: \triangle BHC: \triangle BHA:\\
BH^2=a^2−(b+\frac{a−b}{2})^2=a^2−(\frac{a+b}{2})^2\\
BH^2=c^2−(\frac{a−b}{2})^2\\
a^2−(\frac{a+b}{2})^2=c^2−(\frac{a−b}{2})^2\\
a^2−c^2=(\frac{a+b}{2})^2−(\frac{a−b}{2})^2\\
\therefore a^2−c^2=ab \\ \implies \frac{a^2-c^2}{abc} = \frac1a + \frac 1b\\
\frac{ab}{abc} = \frac1a + \frac 1b \therefore \boxed{\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] BH \perp CA \\HF = HA\\
\triangle BFA_{(isosceles)} \implies ∠BFA=∠BAF=π−4θ\\
∠FBC=π−∠BCF−∠BFA=π−θ−(π−4θ)=3θ\\
Mas~7θ=π \implies ∠BFA≅∠FBC\\
\therefore \triangle BFC_{(isosceles)} \therefore FC=a: HA=\frac{a−b}{2}\\
T.Pit: \triangle BHC: \triangle BHA:\\
BH^2=a^2−(b+\frac{a−b}{2})^2=a^2−(\frac{a+b}{2})^2\\
BH^2=c^2−(\frac{a−b}{2})^2\\
a^2−(\frac{a+b}{2})^2=c^2−(\frac{a−b}{2})^2\\
a^2−c^2=(\frac{a+b}{2})^2−(\frac{a−b}{2})^2\\
\therefore a^2−c^2=ab \\ \implies \frac{a^2-c^2}{abc} = \frac1a + \frac 1b\\
\frac{ab}{abc} = \frac1a + \frac 1b \therefore \boxed{\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}
[/tex3]

(Solução:Angelo)

[geobson]

petras, show, meu amigo! Muito bom! Obrigado!