Ensino Médio

Mensagem não lida por **AngelitaB** » 01 Jun 2023, 18:52

Sejam [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] raízes do polinomio p(x)=[tex3]x^2 + x + c[/tex3] . Determine o valor de [tex3]c[/tex3] se [tex3]\frac{2x_1^{3}}{2+x_2}+\frac{2x_2^{3}}{2+x_1} = - 1[/tex3] .

02 Jun 2023, 22:05

Desenvolvendo a expressão, temos:
[tex3]2x_1 ^3 (2+x_1) + 2x_2^3 (2+x_2) = -(2+x_2) (2+x_1) \\ 4x_1^3+2x_1^4+4x_2^3 + 2x_2^4 = - 4-2x_1 - 2x_2-x_1x_2 \\ 4(x_1 ^3 +x_2^3) + 2(x_1^4 + x_2^4) = - 4-2(x_1+x_2) - x_1 x_2[/tex3]
Observando que [tex3]x_1 + x_2 = -1[/tex3] e [tex3]x_1x_2 =c[/tex3] , e:
[tex3]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2 -x_1x_2 +x_2^2) =(x_1+x_2)([x_1+x_2]^2 - 3x_1x_2)=3c-1[/tex3]
[tex3]x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2) ^2 -2x_1x_2 = 1-2c \\ x_1 ^4 + x_2^4 =(x_1^2 +x_2^2)^2 -2x_1^2 x_2^2=(1-2c)^2 -2c^2=1-4c+2c^2[/tex3]
Agora, só resolver:
[tex3]4(3c-1) +2(1-4c+2c^2) = -2-c[/tex3]
Ou seja, [tex3]c=0 \vee c = -5/4[/tex3]

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(Nivel-ime/ita) Equação

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