Ensino Médio ⇒ Matemática Vol. Único - Gelson Iezzi - progressões. Tópico resolvido

[Gu1me]

Calcule:

1/2 + 2/2² + 3/2³ + 4/2⁴ +.....=?

Não tenho gabarito..

[Deleted User 23699]

1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8
Veja nesse formato
Note que começando em 1/2 temos uma PG infinita de razão 1/2 (1)
Começando em 1/4, temos outra PG infinita de razão 1/2 (2)
Começando em 1/8, temos outra PG infinita de razão 1/2 (3)
E assim sucessivamente (n)
A fórmula da soma da PG é a1 / 1 - q
Não fiz a conta aqui mas provavelmente se você somar (1) + (2) + (3) + ... + (n) vai dar uma outra PG infinita e a soma dela vai ser o resultado final

[petras]

Gu1me,

[tex3]Seja ~ x=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+…

\therefore 2x=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+… \implies 2x-1=\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…\\
\therefore 2x−1−x=\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\\
2x−1−x=1 \implies \boxed{x=2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Seja ~ x=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+…

\therefore 2x=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+… \implies 2x-1=\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…\\
\therefore 2x−1−x=\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\\
2x−1−x=1 \implies \boxed{x=2}[/tex3]