Ensino Médio ⇒ Circunferências tangentes e congruentes Tópico resolvido

[geobson]

Na figura, temos “n” circunferências de raios R e tendentes exteriormente . Os centros das circunferências estão contidos na reta XX’. Calcule AB sabendo que T é ponto de tangência .

Resposta

---

[tex3]\frac{4R\sqrt{2n - 2}}{2n -1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4R\sqrt{2n - 2}}{2n -1}[/tex3]

[FelipeMartin]

[tex3]AB \cap XX' = O[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB \cap XX' = O[/tex3]

:

[tex3]OA \cdot OB = (n-1)(n-2)4R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OA \cdot OB = (n-1)(n-2)4R^2[/tex3]

[tex3]\alpha = \angle AOX' \implies \sen (\alpha) = \frac{1}{(2n-1)} \implies \cos (\alpha) = \frac{2\sqrt{n(n-1)}}{(2n-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha = \angle AOX' \implies \sen (\alpha) = \frac{1}{(2n-1)} \implies \cos (\alpha) = \frac{2\sqrt{n(n-1)}}{(2n-1)}[/tex3]

[tex3]\cos (\alpha) = \frac{\frac{OA+OB}2}{(2n-3)R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos (\alpha) = \frac{\frac{OA+OB}2}{(2n-3)R}[/tex3]

[tex3]OA+ OB = 2R(2n-3) \cos (\alpha)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OA+ OB = 2R(2n-3) \cos (\alpha)[/tex3]

temos:

[tex3](OB+OA)^2 - (OB-OA)^2 = 4OA \cdot OB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](OB+OA)^2 - (OB-OA)^2 = 4OA \cdot OB[/tex3]

logo:

[tex3](2R(2n-3) \cos (\alpha))^2 - (AB)^2 = 16R^2(n-1)(n-2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2R(2n-3) \cos (\alpha))^2 - (AB)^2 = 16R^2(n-1)(n-2)[/tex3]

[tex3]AB^2 = (2R(2n-3) \cos (\alpha))^2 - 16R^2(n-1)(n-2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB^2 = (2R(2n-3) \cos (\alpha))^2 - 16R^2(n-1)(n-2)[/tex3]

[tex3]AB^2 = 4R^2[4(2n-3)^2\frac{n(n-1)}{(2n-1)^2} - 4(n-1)(n-2)] = 16R^2 (n-1)\frac{2}{(2n-1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB^2 = 4R^2[4(2n-3)^2\frac{n(n-1)}{(2n-1)^2} - 4(n-1)(n-2)] = 16R^2 (n-1)\frac{2}{(2n-1)^2}[/tex3]

[tex3]AB = 4R \cdot \sqrt{\frac{2(n-1)}{(2n-1)^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB = 4R \cdot \sqrt{\frac{2(n-1)}{(2n-1)^2}}[/tex3]

assumindo [tex3]n >2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n >2[/tex3]

, acho.

[FelipeMartin]

eu havia confundido o ponto T, agora está coerente com o gabarito.

[geobson]

FelipeMartin, obrigado ! Linda solução!