Ensino Médio ⇒ Dúvida em questão.

[Deleted User 29599]

Um carro se desloca numa trajetória retilínea e a equação horária de seu movimento é dada por: [tex3]s = 5t^2+80t+2[/tex3], com s em km e t em horas. Essa equação é valida até o carro atingir 100km/h, que é a máxima possível, pois o carro tem um controlador de velocidade. Este será acionado quando:

(A) t = 1 h
(B) t = 2 h
(C) t = 3 h
(D) t = 4 h
(E) t = 5 h

Dúvida: essa questão me parece estranha de algum modo algébrico. Tomando a própria definição de velocidade média, basta fazer s/t = 100, ou seja, [tex3]\frac{5t^2+80t+2}{t}=100[/tex3], que dá raízes bem estranhas. Não possuo o gabarito.

Edit: Eu coloquei t = 0 e resultou em s = 2 km, ou seja, começou-se no km 2. Daí, a distância percorrida é (s-2), que nos faz chegar em [tex3]5t^2-20t=0[/tex3], isto é, [tex3]t=4[/tex3]. Procede?

[lmtosta]

MateekX,

Não, não procede.

Primeiramente, note que o movimento é retilíneo, MAS NÃO UNIFORME. Ele é UNIFORMEMENTE VARIADO, como mostra a própria função horária do deslocamento, que é quadrática!!!!!!!!

Isto significa que temos uma ACELERAÇÃO a ser considerada, VELOCIDADE AUMENTANDO até atingir os 100 km/h e, em momento algum, o exercício dá a entender se o veículo já estava ou não acelerado quando iniciou a contagem temporal, quando t = 0 e s = 2,0 km!!!!!!!!!!

Vamos montar uma tabela da função horária para os 4 tempos com as 4 posições registradas conforme a respectiva equação:

t (em horas) ---------------- s (em Km)
0 ----------------------------- 2,0
1 ----------------------------- 87
2 ----------------------------- 182
3 ----------------------------- 287
4 ----------------------------- 402

Note que, entre zero e 1 hora, o carro percorreu 85 km, nos dando uma velocidade média de 85 km/h.

Porém, de 1 hora para 2 horas, ou seja, com mais 1 hora de deslocamento, o carro percorreu mais (182-87) km = 95 km, ou seja, uma velocidade média de 95 km/h.

Isto significa que, de uma hora para a outra hora, o carro aumentou sua velocidade em uma quantidade de 10 km/h, ou seja, sua aceleração é de 10 km/h^2!!!!!!!!!!!

Esta sim, a ACELERAÇÃO QUE É CONSTANTE, E DE 10 KM/H^2!!!!!!!!!!!

Seguindo esta tendência, quando o deslocamento completar sua terceira hora, o carro terá incrementado em sua velocidade mais 10 km/h, perfazendo um total de 105 km/h!!!!!!!!!

No entanto, veja que o enunciado afirma que ao atingir a velocidade final de 100 km/h, o padrão de movimento muda e o carro pára de acelerar, passando a manter a mesma velocidade!!!!!!!!!

Por dedução lógica, isto significa que o momento de acionamento do controlador de velocidade acontece ANTES DO VEÍCULO COMPLETAR 3 HORAS DE VIAGEM!!!!!!!!!

Portanto, isto se dá com 2 horas completas de movimento, com incremento de alguns minutos.

Em se tratando de horas "cheias", são 2 horas, ou seja, resposta letra "B"!!!!!!!!!

No entanto, convém destacar que este cálculo que fizemos de aceleração não é nem preciso e nem exato, pois consideramos as velocidades MÉDIAS na determinação da aceleração INSTANTÂNEA, o que gera distorções de resultado, pois entre os km 2 e 87 consideramos para o cálculo da velocidade que o carro se moveu com rapidez CONSTANTE até atingir o km 87 para só daí acelerar para 95 km/h e considerarmos a velocidade novamente CONSTANTE até o km 182 para então parar. Mas sabemos que não é isto o que aconteceu na prática, mas sim o carro vem acelerando INSTANTANEAMENTE a cada segundo e a cada metro percorrido até atingir os 100 km/h!!!!!!!!!

Como o carro acelera INSTANTE A INSTANTE até a velocidade final, diferente de ANDAR CONSTANTE, ACELERAR E VOLTAR A ANDAR CONSTANTE, isto significa que o tempo total até atingir 100 km/h deve ser ainda menor do que 2 horas e um punhado de minutos adicionais!!!!!!!!!

Mas então, como calcular com precisão e exatidão o tempo gasto e pedido pelo exercício???????

Para isto, precisaremos abandonar os cálculos com velocidade e aceleração MÉDIAS e teremos que usar cálculos com velocidade e aceleração INSTANTÂNEAS, ponto a ponto, hora por hora e quilômetro a quilômetro!!!!!!!!!!

Não se faz isto com Matemática de Ensino Médio. Precisamos usar o Cálculo Diferencial e Integral!!!!!!!!

Podemos obter a função velocidade instantânea como sendo a derivada primeira da função posição e a função aceleração como derivada segunda da posição:

[tex3]v_{inst} = lim_{\Delta{s} --> 0}\frac{ds} {dt} = 10t+80[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_{inst} = lim_{\Delta{s} --> 0}\frac{ds} {dt} = 10t+80[/tex3]

[tex3]a_{inst} = lim_{\Delta{s} -->0}\frac{dv_{inst}} {dt} = 10 \frac{km} {h^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{inst} = lim_{\Delta{s} -->0}\frac{dv_{inst}} {dt} = 10 \frac{km} {h^2}[/tex3]

Note que a aceleração INSTANTÂNEA coincide com a aceleração MÉDIA, ou seja, 10 km/h^2!!!!!!!!!!

No entanto, os resultados para deslocamento mudam. Para a velocidade final de 100 km/h, temos um tempo gasto dado por:

[tex3]v_{inst} = 10 \frac{km} {h^2}t+80\frac{km} {h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_{inst} = 10 \frac{km} {h^2}t+80\frac{km} {h}[/tex3]

[tex3]100 \frac{km} {h} = 10\frac{km} {h^2}t+80\frac{km} {h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]100 \frac{km} {h} = 10\frac{km} {h^2}t+80\frac{km} {h}[/tex3]

[tex3]10\frac{km} {h^2}t = 100 - 80 = 20\frac{km} {h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10\frac{km} {h^2}t = 100 - 80 = 20\frac{km} {h}[/tex3]

[tex3]t = \frac{20\frac{km} {h}} {10\frac{km} {h^2}} = 2,0h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t = \frac{20\frac{km} {h}} {10\frac{km} {h^2}} = 2,0h[/tex3]

!!!!!!!!!!!!

Note que, na prática, o veículo alcançou a velocidade final em exatas 2 horas da marcação no cronômetro e este, quando acionado em t = 0, se deu com o carro já iniciando os registros em 80 km/h, ou seja, o carro já vinha acelerado quando a cronometragem começou!!!!!!!!!

Se quiser explicação sobre fundamentos de derivadas e Cálculo Diferencial e Integral, fique à vontade para pedir, se sentir necessidade!!!!!!!!


Espero ter ajudado.

[Deleted User 29599]

Olá,

Acontece que tal questão é um simulado para o ENEM, ou seja, é uma questão bem básica, digamos; evidentemente, não é necessário utilizar Integral ou Diferencial. Mas eu ainda acho que tem algum erro. Isto porque, pela mesma tabela que você enviou, se substituirmos os valores chegamos que quando t = 4 a velocidade média é 100km/h.

t ---------------- s
0 ---------------- 2,0
1 ---------------- 87 (I)
2 ---------------- 182 (II)
3 ---------------- 287 (III)
4 ---------------- 402 (IV)

No instante (I), a velocidade média é de 85/1=85km/h
No instante (II), a velocidade média é de 180/2=90km/h
No instante (III), a velocidade média é de 285/3=95km/h

Ou seja, a aceleração, na verdade, é de 5km/h^2, o que nos leva a concluir que, quando t = 4, o aparelho aciona.

[lmtosta]

Discordo novamente!!!!!!!!!


Se você calcula uma velocidade média para intervalo de tempo maior, seu erro naturalmente será maior!!!!!!!!!

Daí fazer:
v1 = (87 km - 2,0 km) / (1h - 0) = 85 km/h
v2 = (182 km - 87 km) / (2h - 1h) = 95 km/h
v3 = (287 km - 182 km) / (3h - 2h) = 105 km/h
etc....

Daí sim, insisto, a aceleração é de 10 km/h^2!!!!!!!!!

O Cálculo Diferencial e Integral prova que o raciocínio usado por mim é o que se prova mais próximo da realidade. E outra que só introduzi esta ferramenta depois de resolver "no estilo Enem"!!!!!!!!!!

Simplesmente não interessa se a questão é para os moldes do Enem ou não. O estudante já tem condições para saber que quanto menor for a taxa de variação no cálculo das grandezas envolvidas, mais próximo estará do valor "verdadeiro" e mais preciso será o resultado obtido, bem como mais próximo da realidade!!!!!!!!!

Você pediu a opinião das pessoas e eu dei a minha. Agora se está tão cheio de si quanto a isto, fique com a tua certeza e vai se danar, pois as pessoas têm mais o que fazer além de ficar dando atenção a verdadeiros donos da verdade como você!!!!!!!!!!

Passar bem.

[petras]

lmtosta

Não é minha área mas há na net a resolução de um problema similar (***)
Adaptando a solução para o problema em questão verifica-se os seus resultados.
[tex3]S = So + Vo.t + \frac{a.t^2}{2}\\
S= 2+{\color{red}80}t+{\color{red}5}t^2 \implies Vo=80km/h: a = 10km/h^2\\
V=Vo+at \implies 100 = 80+10t \therefore t = 2h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = So + Vo.t + \frac{a.t^2}{2}\\
S= 2+{\color{red}80}t+{\color{red}5}t^2 \implies Vo=80km/h: a = 10km/h^2\\
V=Vo+at \implies 100 = 80+10t \therefore t = 2h[/tex3]

***"Um carro passa por um radar colocado em uma estrada retilínea. O computador ligado ao radar afere que a equação horária para o movimento do carro é: s= 2,0 + 70,0t + 3,0 t² para s medido em km e t medido em horas.

Esta equação é válida até o carro atingir a velocidade escalar de 100km/h, que é a máxima possível, pois o carro é equipado com um limitador de velocidade. Sabe-se que para t = 0 o carro passa diante do radar. Podemos afirmar que:

a) o radar está no marco zero da estrada
b) se a velocidade escalar máxima permitida na posição do radar for de 80,0km/h, o condutor será multado por excesso de velocidade
c) até atingir a velocidade escalar de 100 km/h, a velocidade escalar aumenta numa taxa de 6,0km/h em cada hora.
d) no instante t = 4,0h, o controlador de velocidade será acionado.
e) no instante t = 1,0h, o carro passará por uma cidade que está localizada a 75,0km do radar

[lmtosta]

petras,


Grato pelo ótimo exemplo!!!!!!!!