Ensino Médio ⇒ tens um quadrado de lado 1cm, calcule a área amarela Tópico resolvido

[Deleted User 29663]

tens um quadrado de lado 1m, considere que ambos triangulos possuem vértices no ponto médio do quadrado, descubra a área rachurada

[petras]

thisfield,

...........................................................

[Deleted User 29663]

petras olá, o problema é que existe uma área onde ambos os triângulos se sobrepoem, não sendo assim possível apenas duplicar a área. Seria necessário descobrir a área do quadrilátero que surge no meio da figura, ou os triângulos não rachurados, e subtrair

[petras]

thisfield,

[tex3]LS=x, PT=y, NU=z\\
∡LES=∡LEQ=45^o \implies |LQ|=x\\
△ILQ \sim△IJE \implies |IQ|=2|LQ|=2x\\
\therefore |QE|=1−2x\\
Como|LQ|=|QE| \implies x=1−2x→x=\frac{1}{3}\\(1)
Analogamente:z=\frac{1}{3}(2)\\
△EPT \sim△EKF \implies |ET|=2y\\
|PR|=|ET|=2y\\
△IPR \sim △IJE \therefore |IR|=2|PR|=4y\\
1=|IE|=|IR|+|RE|=4y+y=5y→y=\frac{1}{5}(3)\\
S_{\triangle PEJ} = \frac{1}{2}.(y.\frac{1}{2})=\frac{1}{20}\\
S_{\triangle ILE} = \frac{1}{2}.(x.1)=\frac{1}{6}\\
\therefore S_{\triangle LPE}=S_{\triangle IEJ}-S_{\triangle PEJ}-S_{\triangle ILE}=\frac{1}{4}-\frac{1}{20}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}\\
S_{\triangle ENF}=\frac{1.z}{2} = \frac{1}{6}\\\
\therefore S_{LMNP} = S_{\triangle EMF}-S_{\triangle ENF}-S_{\triangle EPL}=\frac{1}{4}- \frac{1}{6}-\frac{1}{30}=\frac{1}{20}\\
S_-{procurada}=2.\frac{1}{2}(\frac{1}{2}.1)-\frac{1}{20}=\frac{9}{20} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]LS=x, PT=y, NU=z\\
∡LES=∡LEQ=45^o \implies |LQ|=x\\
△ILQ \sim△IJE \implies |IQ|=2|LQ|=2x\\
\therefore |QE|=1−2x\\
Como|LQ|=|QE| \implies x=1−2x→x=\frac{1}{3}\\(1)
Analogamente:z=\frac{1}{3}(2)\\
△EPT \sim△EKF \implies |ET|=2y\\
|PR|=|ET|=2y\\
△IPR \sim △IJE \therefore |IR|=2|PR|=4y\\
1=|IE|=|IR|+|RE|=4y+y=5y→y=\frac{1}{5}(3)\\
S_{\triangle PEJ} = \frac{1}{2}.(y.\frac{1}{2})=\frac{1}{20}\\
S_{\triangle ILE} = \frac{1}{2}.(x.1)=\frac{1}{6}\\
\therefore S_{\triangle LPE}=S_{\triangle IEJ}-S_{\triangle PEJ}-S_{\triangle ILE}=\frac{1}{4}-\frac{1}{20}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}\\
S_{\triangle ENF}=\frac{1.z}{2} = \frac{1}{6}\\\
\therefore S_{LMNP} = S_{\triangle EMF}-S_{\triangle ENF}-S_{\triangle EPL}=\frac{1}{4}- \frac{1}{6}-\frac{1}{30}=\frac{1}{20}\\
S_-{procurada}=2.\frac{1}{2}(\frac{1}{2}.1)-\frac{1}{20}=\frac{9}{20} [/tex3]

(Solução:JohnO.)

[petras]

[tex3]\frac{QL}{EA}=\frac{IQ}{IE}⇔\frac{QL}{\frac{1}{2}}=\frac{1−QL}{1}

\therefore QL=\frac{1}{3} ~e~ LN=1−2QL=\frac{1}{3}\\

\triangle PLN \sim \triangle PAE \implies \frac{EA}{LN}=\frac{PS}{QL−PS}⇔\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{PS}{\frac{1}{3}−PS}

\therefore PS=\frac{1}{5}.\\

S_{(LMPN)}=\frac{1}{2}LN⋅(\frac{1}{2}−PS)=\frac{1}{20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{QL}{EA}=\frac{IQ}{IE}⇔\frac{QL}{\frac{1}{2}}=\frac{1−QL}{1}

\therefore QL=\frac{1}{3} ~e~ LN=1−2QL=\frac{1}{3}\\

\triangle PLN \sim \triangle PAE \implies \frac{EA}{LN}=\frac{PS}{QL−PS}⇔\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{PS}{\frac{1}{3}−PS}

\therefore PS=\frac{1}{5}.\\

S_{(LMPN)}=\frac{1}{2}LN⋅(\frac{1}{2}−PS)=\frac{1}{20}[/tex3]

(Solução:LuisFuentes)