Ensino Médio ⇒ Equação irracional Tópico resolvido

[Letciia]

^3√2-x = 1- √x-1, para x real
(Raiz cúbica no 2 e -x e raiz tanto no x e no -1)

Resposta

---

S={1; 2; 10}

[leozitz]

produto notável
[tex3]1 - t^3 = (1-t)(t^2 + t + 1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 - t^3 = (1-t)(t^2 + t + 1)[/tex3]

[tex3]1 - \sqrt[3]{2-x} = \sqrt{x-1}\\
t = \sqrt[3]{2-x}\\
1 - t = \sqrt{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 - \sqrt[3]{2-x} = \sqrt{x-1}\\
t = \sqrt[3]{2-x}\\
1 - t = \sqrt{x-1}[/tex3]

vamos tentar descobrir agora quanto vale [tex3]t^2 + t + 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^2 + t + 1[/tex3]

elevando a última ao quadrado
[tex3]t^2 - 2t + 1 = x -1\\
t^2 + t + 1 = x - 1 + 3t = x- 1 +3(1 - \sqrt{x-1})\\t^2 + t + 1 = x + 2 - 3\sqrt{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^2 - 2t + 1 = x -1\\
t^2 + t + 1 = x - 1 + 3t = x- 1 +3(1 - \sqrt{x-1})\\t^2 + t + 1 = x + 2 - 3\sqrt{x-1}[/tex3]

[tex3]1-t^3 = \sqrt{x-1}(x + 2 - 3\sqrt{x-1})\\
1 - (2-x) = \sqrt{x-1}(x + 2 - 3\sqrt{x-1})\\
x - 1 = \sqrt{x-1}(x+2-3\sqrt{x-1})[/tex3]

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[tex3]1-t^3 = \sqrt{x-1}(x + 2 - 3\sqrt{x-1})\\
1 - (2-x) = \sqrt{x-1}(x + 2 - 3\sqrt{x-1})\\
x - 1 = \sqrt{x-1}(x+2-3\sqrt{x-1})[/tex3]

claramente x = 1 é uma solução, vamos tentar encontrar outras
[tex3]\sqrt{x-1} = x + 2 - 3\sqrt{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x-1} = x + 2 - 3\sqrt{x-1}[/tex3]

[tex3]\sqrt{x-1} = y[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x-1} = y[/tex3]

[tex3]y = y^2 + 3 -3y
\\ 0 = y^2 + 3 - 4y\\
(y -3)(y -1) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = y^2 + 3 -3y
\\ 0 = y^2 + 3 - 4y\\
(y -3)(y -1) = 0[/tex3]

e dai y = 3 ou y = 1 nos 2 casos a gente tem uma solução

teve uma hora que a gente elevou ao quadrado ai a gente tem que testar, sempre quando vc tiver equações irracionais é bom testar se as soluções realmente funcionam.

[petras]

Letciia,

Outra resolução
[tex3]\mathsf{x−1=t^2 (t\geq 0) \implies t = \sqrt{x-1}\\
\sqrt[3]{2-x}=\sqrt[3]{1-(x-1)}=\sqrt[3]{1-t^2}\\
\therefore \sqrt[3]{1-t^2}=1-t \implies 1-t^2=(1-t)^3\implies t^3-4t^2+3t=0\\
\therefore t(t^2-4t+3)=0\\
t=0 \implies x-1=0^2\therefore \boxed{x = 1}: \sqrt[3]{2-1}=1-\sqrt{1-1}\implies 1=1 \checkmark \\
t=1\implies x-1=1^2 \therefore \boxed{x = 2}: \sqrt[3]{2-2}=1-\sqrt{2-1}\implies 0=0 \checkmark \\\\
t=3 \implies x-1=3^2\therefore \boxed{x=10}: \sqrt[3]{2-10}=1-\sqrt{10-1}\implies -2=-2 \checkmark \\
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{x−1=t^2 (t\geq 0) \implies t = \sqrt{x-1}\\
\sqrt[3]{2-x}=\sqrt[3]{1-(x-1)}=\sqrt[3]{1-t^2}\\
\therefore \sqrt[3]{1-t^2}=1-t \implies 1-t^2=(1-t)^3\implies t^3-4t^2+3t=0\\
\therefore t(t^2-4t+3)=0\\
t=0 \implies x-1=0^2\therefore \boxed{x = 1}: \sqrt[3]{2-1}=1-\sqrt{1-1}\implies 1=1 \checkmark \\
t=1\implies x-1=1^2 \therefore \boxed{x = 2}: \sqrt[3]{2-2}=1-\sqrt{2-1}\implies 0=0 \checkmark \\\\
t=3 \implies x-1=3^2\therefore \boxed{x=10}: \sqrt[3]{2-10}=1-\sqrt{10-1}\implies -2=-2 \checkmark \\
}[/tex3]