Ensino Médio ⇒ Probabilidade

[nosbier]

De um grupo de 15 rapazes, cinco devem ser relacionados ao acaso para formar um time de basquete. Entre os 15 estão Carlos e Augusto.
Qual a probabilidade de que ambos sejam selecionados?

Resposta

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Resposta: 9,52%

[LostWalker]

Calculando Todas as Combinações

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De forma direta, é a ideia de escolher todos os times possíveis. Trata de escolher 5 dos 15 rapazes, nisso:

[tex3]C_{15}^5={5\choose15}=\frac{15!}{5!10!}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}15}}\cdot{\color{Green}\cancel{\color{Black}14}^7}\cdot13\cdot{\color{YellowOrange}\cancel{\color{Black}12}^3}\cdot11}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}5}}\cdot{\color{YellowOrange}\cancel{\color{Black}4}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}3}}\cdot{\color{Green}\cancel{\color{Black}2}}\cdot1}=\boxed{7\cdot13\cdot3\cdot11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{15}^5={5\choose15}=\frac{15!}{5!10!}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}15}}\cdot{\color{Green}\cancel{\color{Black}14}^7}\cdot13\cdot{\color{YellowOrange}\cancel{\color{Black}12}^3}\cdot11}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}5}}\cdot{\color{YellowOrange}\cancel{\color{Black}4}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}3}}\cdot{\color{Green}\cancel{\color{Black}2}}\cdot1}=\boxed{7\cdot13\cdot3\cdot11}[/tex3]

Calculando Combinações com Carlos e Augusto

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Nesse caso, vamos considerar que os dois já pertencem ao escolhidos, logo, restam 13 rapazes a serem escolhidos e 3 vagas. Então, os escolhemos:

[tex3]C_{13}^3={3\choose13}=\frac{13!}{3!10!}=\frac{13\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}12}^2}\cdot11}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}3}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\cdot1}=\boxed{13\cdot2\cdot11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{13}^3={3\choose13}=\frac{13!}{3!10!}=\frac{13\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}12}^2}\cdot11}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}3}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\cdot1}=\boxed{13\cdot2\cdot11}[/tex3]

Probabilidade

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A chance dos dois estarem no mesmo time são as combinações deles estarem dividido por todas as combinações, logo:

[tex3]\frac{C_{13}^3}{C_{15}^5}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}13}}\cdot2\cdot{\color{Green}\cancel{\color{Black}11}}}{7\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}13}}\cdot3\cdot{\color{Green}\cancel{\color{Black}11}}}=\frac{2}{21}\approx0.0952=\color{MidNightBlue}\boxed{9.52\%}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{C_{13}^3}{C_{15}^5}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}13}}\cdot2\cdot{\color{Green}\cancel{\color{Black}11}}}{7\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}13}}\cdot3\cdot{\color{Green}\cancel{\color{Black}11}}}=\frac{2}{21}\approx0.0952=\color{MidNightBlue}\boxed{9.52\%}[/tex3]