a)[tex3]2^{10}[/tex3] +1
b)[tex3]2^{11}[/tex3] -1
c)[tex3]2^{11}[/tex3] +1
d)[tex3]2^{12}[/tex3] -1
e)[tex3]2^{12}[/tex3] +1
Resposta
d
Ensino Médio ⇒ Aritmética
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2022
12
17:32
Aritmética
O valor de 1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2(1+2)))....)) é:
a)[tex3]2^{10}[/tex3] +1
b)[tex3]2^{11}[/tex3] -1
c)[tex3]2^{11}[/tex3] +1
d)[tex3]2^{12}[/tex3] -1
e)[tex3]2^{12}[/tex3] +1
d
a)[tex3]2^{10}[/tex3] +1
b)[tex3]2^{11}[/tex3] -1
c)[tex3]2^{11}[/tex3] +1
d)[tex3]2^{12}[/tex3] -1
e)[tex3]2^{12}[/tex3] +1
d
Ago 2022
16
01:32
Re: Aritmética
[tex3]1+2=3=2^2-1[/tex3]
[tex3]1+2(1+2)=7=2^3-1[/tex3]
[tex3]1+2(1+2(1+2))=15=2^4-1[/tex3]
[tex3]1+2(1+2(1+2(1+2)))=31=2^5-1[/tex3]
Podemos ver que o resultado é sempre uma potência de 2 menos 1. O valor do expoente da potência é sempre igual ao número de "dois" que há na equação mais um. Assim, na equação dada, temos 10 números 2, portanto o resultado será igual a [tex3]2^{11}-1[/tex3].
Obs 1: acho que você esqueceu de digitar um 2. Se tivesse mais um a resposta seria [tex3]d[/tex3] . Conferi na calculadora e o resultado realmente é [tex3]b[/tex3] .
Obs 2: Apesar não ser necessário provar o padrão, farei isso aqui embaixo:
Podemos ver que a sequência construída é definida recursivamente como:
[tex3]\begin{cases}a_n=1+2a_{n-1},\,\,n\geq1\\ a_0=1\end{cases}[/tex3]
Provemos por indução que [tex3]a_n=2^{n+1}-1[/tex3] :
[tex3]a_{k+1}=1+2a_{k}[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=1+2\(2^{k+1}-1\)[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=1+2\cdot2^{k+1}-2[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=2^{k+1+1}-1[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=2^{(k+1)+1}-1[/tex3]
Como o caso [tex3]n=k[/tex3] ser verdadeiro implica que [tex3]n=k+1[/tex3] é verdadeiro, munido com o caso inicial, provamos o padrão por indução.
[tex3]1+2(1+2)=7=2^3-1[/tex3]
[tex3]1+2(1+2(1+2))=15=2^4-1[/tex3]
[tex3]1+2(1+2(1+2(1+2)))=31=2^5-1[/tex3]
Podemos ver que o resultado é sempre uma potência de 2 menos 1. O valor do expoente da potência é sempre igual ao número de "dois" que há na equação mais um. Assim, na equação dada, temos 10 números 2, portanto o resultado será igual a [tex3]2^{11}-1[/tex3].
Obs 1: acho que você esqueceu de digitar um 2. Se tivesse mais um a resposta seria [tex3]d[/tex3] . Conferi na calculadora e o resultado realmente é [tex3]b[/tex3] .
Obs 2: Apesar não ser necessário provar o padrão, farei isso aqui embaixo:
Resposta
Podemos ver que a sequência construída é definida recursivamente como:
[tex3]\begin{cases}a_n=1+2a_{n-1},\,\,n\geq1\\ a_0=1\end{cases}[/tex3]
Provemos por indução que [tex3]a_n=2^{n+1}-1[/tex3] :
- Caso inicial: [tex3]n=0[/tex3]
- Hipótese de indução: seja o padrão verdadeiro para [tex3]n=k>0[/tex3] , portanto:
[tex3]a_{k+1}=1+2a_{k}[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=1+2\(2^{k+1}-1\)[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=1+2\cdot2^{k+1}-2[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=2^{k+1+1}-1[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=2^{(k+1)+1}-1[/tex3]
Como o caso [tex3]n=k[/tex3] ser verdadeiro implica que [tex3]n=k+1[/tex3] é verdadeiro, munido com o caso inicial, provamos o padrão por indução.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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