- 20220810_093846.jpg (38.75 KiB) Exibido 473 vezes
Resposta
[tex3]\frac{25}{8}cm[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Arco duplo
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2022
13
17:40
Arco duplo
A figura 1 representa uma folha retangular com 8 cm de comprimento por 6cm de largura.Essa folha foi dobrada de modo que o vértice [tex3]D[/tex3]
coincidisse com o ponto médio [tex3]M[/tex3]
da diagonal [tex3]\overline{AC}[/tex3]
do retângulo,conforme mostra a figura 2.Calcule a medida do segmento [tex3]\overline{EM}[/tex3]
.
[tex3]\frac{25}{8}cm[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8}cm[/tex3]
Ago 2022
16
01:16
Re: Arco duplo
Se desdobrarmos a folha, teremos o seguinte esquema:
Como após a dobradura os pontos [tex3]D[/tex3]
e [tex3]M[/tex3]
coincidem, então [tex3]\overline{EM}=\overline{DE}[/tex3]
. Seja então o ponto [tex3]F[/tex3]
sobre o segmento [tex3]\overline{AD}[/tex3]
, tal que o segmento [tex3]\overline{FM}[/tex3]
seja perpendicular a [tex3]\overline{AD}[/tex3]
. Vemos que o triângulo [tex3]\Delta AMF[/tex3]
é similar ao triângulo [tex3]\Delta{ACD}[/tex3]
, devido ao parelismo de seus lados [tex3]\(\overline{AM}~\,\parallel\,\overline{AC}\right.[/tex3]
, [tex3]\overline{AF}~\,\parallel\,\overline{AD}[/tex3]
, [tex3]\left.\overline{FM}~\,\parallel\,\overline{CD}\)[/tex3]
. Assim, temos:
[tex3]{\overline{FM}\over\overline{AM}}={\overline{CD}\over\overline{AC}}[/tex3]
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo [tex3]\Delta ACD[/tex3] , temos que [tex3]\overline{AC}=\sqrt{8^2+6^2}=10[/tex3] . Como [tex3]M[/tex3] é ponto médio, então [tex3]\overline{AM}={\overline{AC}\over2}=5[/tex3] . Portanto:
[tex3]{\overline{FM}\over5}={6\over10}[/tex3]
[tex3]{\overline{FM}}=3[/tex3]
Também temos:
[tex3]{\overline{AF}\over\overline{AM}}={\overline{AD}\over\overline{AC}}[/tex3]
[tex3]{\overline{AF}\over5}={8\over10}[/tex3]
[tex3]{\overline{AF}}=4[/tex3]
No segmento [tex3]\overline{AD}[/tex3] , temos:
[tex3]\overline{AD}=\overline{AF}+\overline{EF}+\overline{DE}[/tex3]
[tex3]8=4+\overline{EF}+\overline{DE}[/tex3]
[tex3]\overline{EF}=4-\overline{DE}[/tex3]
Utilizando Pitágoras no triângulo [tex3]\Delta EFM[/tex3] :
[tex3]\(\overline{EM}\)^2=\(\overline{FM}\)^2+\(\overline{EF}\)^2[/tex3]
[tex3]\(\overline{EM}\)^2=3^2+\(4-\overline{DE}\)^2[/tex3]
Como [tex3]\overline{EM}=\overline{DE}[/tex3] , temos:
[tex3]\(\overline{EM}\)^2=3^2+\(4-\overline{EM}\)^2[/tex3]
[tex3]\(\overline{EM}\)^2=3^2+4^2-2\cdot 4\cdot\overline{EM}+ \(\overline{EM}\)^2[/tex3]
[tex3]\(\overline{EM}\)^2-9-16- \(\overline{EM}\)^2=-8\cdot\overline{EM}[/tex3]
[tex3]-25=-8\cdot\overline{EM}[/tex3]
[tex3]\overline{EM}={25\over8}[/tex3]
- D vs nD.png (6.51 KiB) Exibido 442 vezes
[tex3]{\overline{FM}\over\overline{AM}}={\overline{CD}\over\overline{AC}}[/tex3]
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo [tex3]\Delta ACD[/tex3] , temos que [tex3]\overline{AC}=\sqrt{8^2+6^2}=10[/tex3] . Como [tex3]M[/tex3] é ponto médio, então [tex3]\overline{AM}={\overline{AC}\over2}=5[/tex3] . Portanto:
[tex3]{\overline{FM}\over5}={6\over10}[/tex3]
[tex3]{\overline{FM}}=3[/tex3]
Também temos:
[tex3]{\overline{AF}\over\overline{AM}}={\overline{AD}\over\overline{AC}}[/tex3]
[tex3]{\overline{AF}\over5}={8\over10}[/tex3]
[tex3]{\overline{AF}}=4[/tex3]
No segmento [tex3]\overline{AD}[/tex3] , temos:
[tex3]\overline{AD}=\overline{AF}+\overline{EF}+\overline{DE}[/tex3]
[tex3]8=4+\overline{EF}+\overline{DE}[/tex3]
[tex3]\overline{EF}=4-\overline{DE}[/tex3]
Utilizando Pitágoras no triângulo [tex3]\Delta EFM[/tex3] :
[tex3]\(\overline{EM}\)^2=\(\overline{FM}\)^2+\(\overline{EF}\)^2[/tex3]
[tex3]\(\overline{EM}\)^2=3^2+\(4-\overline{DE}\)^2[/tex3]
Como [tex3]\overline{EM}=\overline{DE}[/tex3] , temos:
[tex3]\(\overline{EM}\)^2=3^2+\(4-\overline{EM}\)^2[/tex3]
[tex3]\(\overline{EM}\)^2=3^2+4^2-2\cdot 4\cdot\overline{EM}+ \(\overline{EM}\)^2[/tex3]
[tex3]\(\overline{EM}\)^2-9-16- \(\overline{EM}\)^2=-8\cdot\overline{EM}[/tex3]
[tex3]-25=-8\cdot\overline{EM}[/tex3]
[tex3]\overline{EM}={25\over8}[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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